4.1.6. Моделирование сезонных и циклических колебаний временных рядов

В эконометрики для моделирования сезонных и циклических колебаний используют методы:

1. расчет значений сезонной компоненты и построение аддитивной или мультипликативной модели;

2. использование фиктивных переменных и др.

4.1.6.1. Расчет значений сезонной компоненты и построение аддитивной и мультипликативной модели

Аддитивная модель

(230)

используется, если амплитуда сезонных колебаний не меняется со временем. В случае если амплитуда со временем существенно изменяется в ту или иную сторону применяется мультипликативная модель

(231)

Построение моделей рассмотрим на примерах.

Пример 30. Имеются данные об объемах продаж некоего товара поквартально, (табл. 62) . Необходимо построить модель временного ряда и провести прогнозирование.

Решение.

1. Для выбора аддитивной или мультипликативной модели построим график объема продаж – рисунок 15.

Рисунок 15.

По графику видно, что амплитуды колебаний приблизительно равны, поэтому будем строить аддитивную модель .

Таблица 62

Год	Квартал,	№ квартала,	Объем продаж,	Средняя скользящая,	Центрированная средняя скользящая,
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
2007	I	1	334				-71,89	405,89	418,89	347,00	-13,00	169,00	112506,58
	II	2	315	489,75			-150,77	465,77	464,44	313,67	1,33	1,77	125613,54
	III	3	710	538,75	514,25	195,75	195,61	514,39	509,99	705,60	4,40	19,36	1646,74
	IV	4	600	586,00	562,38	37,63	27,05	572,95	555,54	582,59	17,41	303,11	4819,14
2008	I	5	530	629,75	607,88	-77,88	-71,89	601,89	601,09	529,20	0,80	0,64	19437,94
	II	6	504	667,00	648,38	-144,38	-150,77	654,77	646,64	495,87	8,13	66,10	27363,78
	III	7	885	712,00	689,50	195,50	195,61	689,39	692,19	887,80	-2,80	7,84	46474,74
	IV	8	749	753,00	732,50	16,50	27,05	721,95	737,74	764,79	-15,79	249,32	6332,98
2009	I	9	710	798,75	775,88	-65,88	-71,89	781,89	783,29	711,40	-1,40	1,96	1646,74
	II	10	668	851,50	825,13	-157,13	-150,77	818,77	828,84	678,07	-10,07	101,40	2,02
	III	11	1068				195,61	872,39	874,39	1070,00	-2,00	4,00	158866,02
	IV	12	960				27,05	932,95	919,94	946,99	13,01	169,26	84436,74
	Итого		8033									1093,76	589146,92
	В среднем		669,42

2. Проведем выравнивание фактического временного ряда методом средних скользящих за 4-х летний период (столбец 5).

и т.д.

3. Приведем полученные средние в соответствии с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (столбец 6).

и т.д.

4. Найдем отклонения и используем данные отклонения для расчета значений сезонной компоненты , (табл. 63).

Таблица 63

Год	Квартал				Итого
	I	II	III	IV
2007			195,75	37,63
2008	-77,88	-144,38	195,50	16,50
2009	-65,88	-157,13
Итого	-143,75	-301,5	391,25	54,125
Средняя оценка сезонной компоненты	-71,875	-150,75	195,625	27,0625	0,0625
Скорректированная сезонная компонента	-71,89063	-150,77	195,609	27,046875	0

В моделях с сезонной компонентой все сезонные влияния взаимопоглощаются, т.е. в аддитивной модели сумма сезонных компонент по всем периодам должна быть равна нулю. В нашем случае, это не так - , поэтому определим корректирующий коэффициент как:

(232)

где, - число сезонов в году.

Рассчитаем скорректированную сезонную компоненту:

(233)

Сумма всех скорректированных компонент равна нулю. Добавим значения в 8 столбец таблицы 92.

5. Исключим влияние сезонной компоненты как , результат занесем в столбец 9 таблицы 62. Полученный временной ряд содержит только тенденцию и случайную компоненту.

6. Используя аналитическое выравнивание ряда рассчитаем тенденцию .

Подставим по порядку в полученное уравнение значение , построим ряд уровней столбец 10 таблицы 62.

7. Чтобы найти уровни ряда полученные по аддитивной модели прибавим к значениям ряда соответствующее значение сезонной компоненты столбец 11 таблицы 62.

Рисунок 16. Ряд 1 – фактическое потребление, ряд 2 – тренд , ряд 3 -

8. Случайную компоненту рассчитаем как:

столбец 12 таблицы 62. (234)

В аддитивной модели случайная компонента равна абсолютной ошибке.

Для оценки качества модели рассчитаем сумму квадратов абсолютных ошибок и сравним с общей сумой квадратов отклонений. В аддитивной модели случайная компонента равна абсолютной ошибке.

(235)

Аддитивная модель объясняет общей вариации продаж за последние 12 кварталов.

9. Проведем прогнозирование на следующий квартал.

Прогнозное значение объема продаж в следующем, 13-м квартале это сумма трендовой и сезонной компонент

(236)

Рассчитаем значение трендовой компоненты по полученному уравнению тренда:

13-й квартал является I-м кварталом года, для первых кварталов значение сезонной компоненты (таблица 63).

Получаем:

Прогноз объема продаж на 13-й квартал составил 893,6 тыс.руб.

Пример 31. Имеются данные об объемах продаж некоего товара поквартально, (табл. 64) . Необходимо построить модель временного ряда и провести прогнозирование.

Решение.

1. Для выбора аддитивной или мультипликативной модели построим график объема продаж – рисунок 17.

Рисунок 17.

Таблица 64

Год	Квартал	№ квартала,	Объем продаж,	Средняя скользящая,	Центрированная средняя скользящая,
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
2007	I	1	334				0,88	381,62	299,05	261,73	1,28	72,27	5223,01	222859,53
	II	2	315	474,75			0,73	433,52	388,87	282,55	1,11	32,45	1052,76	241159,57
	III	3	650	523,75	499,25	1,30	1,32	491,83	478,70	632,64	1,03	17,36	301,30	24360,97
	IV	4	600	571,00	547,38	1,10	1,08	557,34	568,52	612,04	0,98	-12,04	144,97	42468,97
2008	I	5	530	667,25	619,13	0,86	0,88	605,56	658,35	576,20	0,92	-46,20	2134,02	76220,17
	II	6	504	742,00	704,63	0,72	0,73	693,64	748,17	543,62	0,93	-39,62	1569,89	91252,33
	III	7	1035	824,50	783,25	1,32	1,32	783,14	838,00	1107,49	0,93	-72,49	5255,10	52404,37
	IV	8	899	903,00	863,75	1,04	1,08	835,07	927,82	998,84	0,90	-99,84	9968,95	8634,13
2009	I	9	860	1048,75	975,88	0,88	0,88	982,61	1017,65	890,66	0,97	-30,66	940,11	2907,37
	II	10	818	1201,50	1125,13	0,73	0,73	1125,79	1107,47	804,69	1,02	13,31	177,16	142,09
	III	11	1618				1,32	1224,28	1197,30	1582,34	1,02	35,66	1271,49	659214,09
	IV	12	1510				1,08	1402,63	1287,12	1385,65	1,09	124,35	15463,16	495503,37
	Итого		9673,00										43501,91	1917126,92
	В среднем		806,08

По графику видно, что амплитуды колебаний имеют тенденцию к увеличению, поэтому будем строить мультипликативную модель .

2. Проведем выравнивание фактического временного ряда методом средних скользящих за 4-х летний период (столбец 5).

3. Приведем полученные средние в соответствии с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (столбец 6).

4. Найдем отношения и используем данные отклонения для расчета значений сезонной компоненты (табл. 65).

Таблица 65

Год	Квартал				Итого
	I	II	III	IV
2007			1,30	1,10
2008	0,86	0,72	1,32	1,04
2009	0,88	0,73
Итого	1,74	1,44	2,62	2,14
Средняя оценка сезонной компоненты	0,87	0,72	1,31	1,07	3,97
Скорректированная сезонная компонента	0,88	0,73	1,32	1,08	4,00

В мультипликативной модели сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. Для нашей задачи число периодов равно 4-м. у нас же . Поэтому определим корректирующий коэффициент как:

(237)

где, - число периодов в цикле.

Рассчитаем скорректированную сезонную компоненту:

(238)

Сумма всех скорректированных компонент равна 4. Добавим значения в 8 столбец таблицы 64.

5. Исключим влияние сезонной компоненты как , результат занесем в столбец 9 таблицы 64. Полученный временной ряд содержит только тенденцию и случайную компоненту.

6. Используя аналитическое выравнивание ряда рассчитаем тенденцию .

Подставим по порядку в полученное уравнение значение , построим ряд уровней столбец 10 таблицы 64.

7. Чтобы найти уровни ряда полученные по мультипликативной модели умножим уровни ряда на соответствующее значение сезонной компоненты столбец 11 таблицы 64.

Рисунок 5. Ряд 18 – фактическое потребление, ряд 2 – тренд , ряд 3 –

8. Случайную компоненту рассчитаем как:

столбец 12 таблицы 64.

Для оценки качества модели рассчитаем сумму квадратов абсолютных ошибок и сравним с общей сумой квадратов отклонений. Абсолютные ошибки в мультипликативной модели рассчитаем как:

(239)

(240)

Мультипликативная модель объясняет общей вариации продаж за последние 12 кварталов.

9. Проведем прогнозирование на следующий квартал.

Прогнозное значение объема продаж в следующем, 13-м квартале это сумма трендовой и сезонной компонент

(241)

Рассчитаем значение трендовой компоненты по полученному уравнению тренда:

13-й квартал является I-м кварталом года, для первых кварталов значение сезонной компоненты (таблица 65).

Получаем:

Прогноз объема продаж на 13-й квартал составил 1377,83 тыс.руб.