4.2.2. Метод последовательных разностей

Тенденцию во временных рядах можно устранить, заменив фактические ряды на ряды последовательных разностей разных порядков, в зависимости от формы тренда.

Если временной ряд содержит:

• линейный тренд, то используют разности первого порядка (абсолютные приросты).

Рассмотрим

линейная модель имеет вид

тогда разности первого порядка

где - константа, не зависящая от времени.

Если ряд содержит сильную линейную тенденцию, то остатки будут достаточно малы и носят случайный характер, следовательно, первые разности уровней временных рядов не содержат временную тенденцию.

• тренд в форме параболы второго порядка, используют разности второго порядка.

Рассмотрим

модель параболы второго порядка имеет вид

тогда разности второго порядка

Вторые разности не содержат тенденцию.

• экспоненциальный или степенной тренд, метод последовательных разностей следует применять не к исходным уровням ряда, а к их логарифмам.

Метод последовательных разностей имеет следующие недостатки:

1. имеет место сокращение числа пар наблюдений, по которым строится уравнение регрессии, соответственно понижается число степеней свободы

2. использование не фактических уровней, а их приростов ведет к потере информации исходных данных

Пример 34. Имеются данные за 9 лет о товарообороте магазина N и средней заработной платы жителей ближайшего района (табл. 72).

Таблица 72

1	2,20	6,73	-	-
2	2,35	7,80	0,15	1,07
3	2,10	6,75	-0,25	-1,05
4	2,70	9,93	0,60	3,18
5	2,85	11,00	0,15	1,07
6	3,00	12,07	0,15	1,07
7	3,68	13,57	0,68	1,50
8	3,50	14,20	-0,18	0,63
9	3,67	15,27	0,17	1,07
Коэффициент автокорреляции первого порядка			-0,37	-0,49

Решение.

Исключим тренд методом последовательных разностей.

Найдем первые разницы (абсолютные приросты) исходных рядов и

Расчетные ряды , не содержат автокорреляцию, поэтому их можно использовать для изучения взаимосвязей.

Коэффициент корреляции рядов и - .

Регрессионная модель имеет вид:

Параметры уравнения построенного по методу последовательных разностей поддаются интерпретации. При увеличении средней заработной платы на товарооборот магазина увеличится в среднем на

4.2.3. Включение в модель регрессии фактора времени

Данный метод предполагает включение в модель регрессии переменную времени , в результате чего получаем уравнение вида

(244)

Данный метод имеет наиболее широкое применение по сравнению с методом последовательных разностей и методом отклонения от тренда, так как позволяет учесть всю информацию данных, и интерпретация полученных параметров не вызывает затруднений.

Пример 35. Имеются данные за 9 лет о товарообороте магазина N и средней заработной платы жителей ближайшего района (табл. 73)

Таблица 73

Год
2001	2,20	6,73	1	2,16
2002	2,35	7,80	2	2,36
2003	2,10	6,75	3	2,04
2004	2,70	9,93	4	2,74
2005	2,85	11,00	5	2,93
2006	3,00	12,07	6	3,12
2007	3,68	13,57	7	3,42
2008	3,50	14,20	8	3,51
2009	3,67	15,27	9	3,70
Итого	26,05	97,32	45,00	25,98

Решение.

Исключим тренд методом включение в модель регрессии фактора времени.

Добавим в модель переменную времени и рассчитаем параметры уравнения с помощью МНК, в результате получим

Параметр показывает, что при увеличении средней заработной платы товарооборот магазина увеличится в среднем на , параметр показывает влияния всех остальных факторов.