Лекция 9. 9.1 Плоскопараллельное движение тела

Плоскопараллельным (плоским) называется такое движение тела, при котором все

его точки описывают траектории, параллельные некоторой неподвижной плоскости.

Плоское движение совершают многие части механизмов и машин, например, шестерня и шатун, изображенные на рис. 9.4. При таком движении все сечения тела, параллельные неподвижной плоскости, будут двигаться одинаково. Поэтому, уравнениями плоского движения тела будут выражения, описывающие

движение любой прямой АВ, взятой в этом сечении (рис. 9.5). Очевидно, что описать движение прямой АВ в плоскости хОу можно посредством трех уравнений: первые два – описывают движение точки А (полюса), а последнее – угловое перемещение прямой АВ. Механически это можно объяснить следующим образом. Первые два уравнения описыва-

ют поступательную составляющую движения тела, а последнее – вращательную. Действительно, сечение (S) тела (рис. 9.5) может перейти из положения А1В1 в положение А2В2 в два этапа. На первом этапе тело перемещается поступа-

тельно; отрезок АВ занимает при этом промежуточное положение А₂В^’. На втором этапе происходит угловое перемещение (вращательное движение) всего сечения относительно неподвижной точки А₂; при этом точка В и все сечение занимает свое окончательное положение. В действительности, при плоском движении совершается поступательное и

	вращательное движения одновременно. Однако, условное разделение геометрически сложного плоского движения тела на простые, позволяет предложить достаточно наглядный подход к определению скорости произвольной точки М тела (рис. 9.6). Использовав векторный способ определения положения точки, можно записать:
	где		- радиус-вектор точки М относительно точки А.

Для определения скорости точки М возьмем производную по времени от левой и правой частей векторного выражения (9.14), получим:

где		- скорость точки М;
		- скорость полюса, точки А;
		- скорость точки М относительно полюса при угловом перемеще-нии тела.

Таким образом,

скорость произвольной точки М тела при его плоском движении определяется как геометрическая сумма скорости другой какой-либо точки А, называемой полюсом, и скорости точки М, которую она получает при вращении тела вокруг полюса.

Однако, несмотря на свою достаточно ясную механическую сущность, выражение (9.15) оказывается непригодным для решения задач.

Другая зависимость между скоростями точек устанавливается

теоремой: проекции скоростей двух точек тела, совершающего плоское движение, на

прямую, проходящую через эти точки, равны между собой.

Рассмотрим две точки А и В тела (рис. 9.7), совершающего плоское движение. Примем точку А за полюс, получим:

	Спроектируем обе части равенства на прямую АВ (ось Х), получим:
	или, с учетом
	что и требовалось доказать.

Полученная зависимость (9.18) позволяет устанавливать одну из четырех величин, входящих в это выражение.

Наиболее универсальный метод решения задач кинематики плоского движении тела базируется на использовании

мгновенного центра скоростей (МЦС) – точки сечения тела, скорость которой в

данный момент времени равна нулю.

Можно показать, что в случае плоского движения тела такая точка существует и притом единственная. Для этого восстановим перпендикуляры из точек А и В (рис. 9.8) к соответствующим векторам скоростей V_A и V_B до их пересечения в точке Р (пересечение

состоится, т.к. векторы скоростей не параллельны). Предположим обратное, т.е. VP не равен 0. Тогда для каж-дой пары точек (А и Р) и (В и Р) должна выполняться теорема о проекциях скоростей на соответствующую прямую. Причем, выполняться теорема должна одновременно для указанных пар точек, что невозможно, т.к. вектор VP не может быть одновременно перпендикуля-

рен и прямой АР и прямой ВР. Теорема будет выполняться только в случае V_P=0. Это означает, что при нахождении МЦС достаточно найти точку, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Со временем положение МЦС меняется и все новые точки сечения тела будут выполнять его функции. Практическое значение МЦС заключается в том, что с его помощью геометрически сложное плоское движение тела можно рассматривать как простое мгновенно вращательное движение относительно оси, проходящей через МЦС. Действительно, если в (9.15) в качестве полюса выбрать МЦС, скорость которой по определению равна нулю, то скорость произвольной точки М будет определяться по формуле:

а ее модуль:

т.е. скорость произвольной точки тела, совершающего плоское движение, опреляется как скорость, которую она получает при вращении тела вокруг МЦС.

На рис. 9.9 приведены случаи определения положения МЦС, отличные от общего правила, представленного на рис. 9.8. Поскольку для каждого момента времени существует един-

ственный МЦС, то в случае (а) этой точкой будет место касания диска неподвижной поверхности. В случае (б) перпендикуляры, восстановленные из точек А и В к скоростям, не пересекутся, т.к. векторы скоростей параллельны. Это

можно рассматривать как случай бесконечно удаленного МЦС, что на основе (9.20) приводит к равенству нулю угловой скорости и, как следствие, к выводу о поступательном характере движения тела. Случай (в) похож на предыдущий, но здесь перпендикуляры, восстановленные из точек А и В совпадают ниже точки В. Для определения положения МЦС необходимо построить дополнительную прямую, соединяющую кончики векторов скоростей и провести ее до пересечения с АВ. Точка пересечения и будет МЦС.