18.3 Коэффициент восстановления
Величина ударного импульса зависит не только от масс и скоростей соударяющихся тел, но и от их механических свойств. Параметр, характеризующий эти свойства, называется
коэффициент восстановления – величина, равная при прямом ударе тела о неподвижную преграду отношению модулей скоростей, соответствующих концу и началу удара, т.е.:
Прямым называется такой удар, при котором скорость центра масс тела в начальный момент касания направлена по нормали; в противном случае удар называется косым.
Физические процессы, сопровождающие удар тел, довольно сложны и многообразны, но, в первом приближении, могут быть описаны следующей механической моделью. Рассмотрим прямой удар шара о неподвижную поверхность (рис. 17.1), как сумму двух стадий: 1) кинетическая энергия шара, равная в начале удара 0,5mV2 (шар движется поступательно), убывает до нуля, переходя во внутреннюю потенциальную энергию деформированного тела; |
|
2) происходит восстановление формы шара за счет внутренних упругих напряжений и приобретение точками тела в конце удара скорости U (обратный переход потенциальной энергии в кинетическую). Однако, полностью кинетическая энергия шара не восстанавливается, т.к. часть ее уходит на нагрев тела и его пластическое деформирование (0,5mU2<0,5mV2). Из этой модели видно, что коэффициент восстановления имеет следующий интервал возможных значений: 0≤k≤1. При k=1 удар считается абсолютно упругим; при k=0 – абсолютно неупругим. Согласно (17.9), в первом случае скорость тела после удара будет равна скорости до удара, т.е.: U=V (кинетическая энергия не расходуется на нагрев и пластическое деформирование); во втором случае удар заканчивается по завершению первой стадии выше рассмотренной модели удара, т.е.: U=0 (вся кинетическая энергия тратится на нагрев и пластическое деформирование тела). Очевидно, что крайние значения k для твердых тел практически не реализуемы, т.к. вторая стадия удара и рассеяние энергии всегда будет иметь место.
|
Коэффициент восстановления можно определить опытным путем следующим образом. Учитывая, что скорости в начале и в конце удара можно определить по формулам
где h, H – расстояния шара от поверхности при его отскоке и в начальном положении соответственно (см. рис. 17.2). |
Преобразуем выражение (17.9) с учетом (17.10), получим:
В выражение (17.11) входят величины, которые можно напрямую измерить, что позволяет контролировать точность определения k.
18.4. Удар тела о неподвижную преграду
Рассмотрим прямой центральный удар шара о неподвижную поверхность (рис. 17.3). Центральным называется такой удар, при котором нормаль к точке касания проходит через центр масс тела. Для однородного шара это будет всегда. Пусть шар массой m ударяется о неподвижную поверхность со скоростью V. Определим величину ударного импульса, S, возникающего от ударной силы N – реакции поверхности |
|
на шар (рис. 17.3). Воспользуемся для решения задачи выражением основного уравнения теории удара (17.2), спроектированного на нормаль n, получим:
где Un=U; Vn=-V; Sn(N)=Nτ; τ – время удара.
Согласно (17.9)
и тогда:
Из (17.14) видно, что ударный импульс зависит не только от скорости тела при столкновении, но и от его упругих свойств – коэффициента восстановления.