Лекция 13. Количество движения

13.1. Количество движения точки и импульс силы

Количеством движения точки называется векторная величина, равная произведе-

нию массы точки на ее скорость, т.е. mV. Вектор количества движения точки образуется на основе вектора ее скорости. Поэтому его направление совпадает с направлением скорости, т.е. касательной к траектории точки (рис. 14.1). Для характеристики действия силы на тело за некоторый промежуток времени используют понятие импульса силы. Введем вначале понятие элементарного импульса силы, dS, - векторной величи-

ны, равной произведению вектора силы на элементарный промежуток времени, т.е.

Направление вектора импульса совпадает с направлением силы (рис. 14.1).

Следовательно, импульс силы за конечный промежуток времени определяется как определенный интеграл от элементарного импульса:

Ясно, что результат интегрирования зависит от вида функции силы. В частном случае,

когда сила постоянна, имеем,

Импульс силы характеризует передачу телу механического движения за некоторый проме-жуток времени от других тел, где сила является количественной мерой этого взаимодей-ствия.

13.2. Теорема об изменении количества движения точки

Для вывода используем основной закон динамики (11.1). Учитывая, что

и масса точки не зависит от времени, получим:

т.е., производная по времени от количества движения точки равна геометрической

сумме сил, действующих на эту точку.

Выражение (14.9) представляет собой теорему об изменении количества движения точки,

записанную в векторной форме. При решении задач используют, как правило, скалярную форму записи данной теоремы в виде:

Выражение теоремы об изменении количества движения точки может быть представлено, также, в интегральном виде, если в (14.9) обе части умножить на dt и взять от полученного выражения интеграл (рис. 14.1), т.е.:

Под знаком суммы находится выражение импульса силы F_k за промежуток времени t_O…t_I.

Учитывая это, получим:

т.е., изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени рав-

но геометрической сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.

В скалярной форме выражение данной теоремы можно получить если спроектировать обе части выражения (14.12) на координатные оси:

В случае движения точки по прямой для решения задачи достаточно воспользоваться одним из уравнений системы (14.13).

13.3. Количество движения механической системы

Количеством движения механической системы называют векторную величину, рав-

ную геометрической сумме количеств движения всех точек данной системы,

т.е.:

На рис. 14.2 показана система n материальных точек, каждая из которых имеет свою величину количества движения, m_kV_k. Построив из этих векторов многоугольник, можно найти вектор суммы, Q, который и является вектором количества движения механической системы. Ясно, что вектор суммы может принимать любые значения и быть равным нулю. Выражение (14.14) отражает сущность данной характеристики движения механической системы, но не может быть рекомендовано для ее определения. Действительно, если механическая система представляет собой совокупность большого числа точек, то процесс определения Q окажется весьма трудоемким. Найдем другую формулу этой величины. Для этого воспользуемся векторным выражением (13.3), определяющим положение центра масс механической системы. Умножим обе части этой формулы на массу системы, М, получим:

Возьмем первую производную от обеих частей этого выражения. При этом учтем, что производная от суммы равна сумме производных, а масса точки и системы, как постоянные величины, могут быть вынесены за знак производной:

Производные от радиусов-векторов являются скоростями k-й точки и центра масс, поэтому выражение (14.16) перепишем в следующем виде:

Учитывая равенство правой части (14.14) и левой части (14.17), получим формулу для определения количества движения системы:

т.е.: количество движения механической системы равно произведению ее массы на

скорость центра масс.

Преимущество формулы (14.18) над выражением (14.14) очевидно, т.к. в (14.18) для определения Q требуется знать скорость только одной точки – центра масс. Интересно заметить, что в случае покоя этой точки, не зависимо от значений скоростей других точек системы, количество движения механической системы будет равно нулю. Таким образом,

количество движения – это характеристика поступательной составляющей движе-

ния механической системы.