Лекция 15. Принцип Даламбера
Область применения принципа Даламбера – это динамика несвободных механических систем. Даламбер предложил оригинальный метод решения задач динамики, позволяющий использовать достаточно простые уравнения статики. Он писал: «Данное правило приводит все задачи, относящиеся к движению тел, к более простым задачам о равновесии».
В основу данного метода положены силы инерции. Введем это понятие.
Силой инерции называют геометрическую сумму сил противодействия движущейся материальной частицы телам, сообщающим ей ускорение.
Поясним это определение. На рис. 15.1 показана материальная частица М, взаимодей-ствующая с n материальными объектами. На рис. 15.1 показаны силы взаимодействия: без
|
штриха (Fk) – силы, действующие на материальную частицу М со стороны других объектов; со штрихом (F‘k) – силы противодействия частицы, приложенные к материальным объектам. Под действием системы сходящихся сил (F1,…, Fn) материальная частица М движется с ускорением а, направленным по равнодейст-вующей R=ΣFk. На рис. 15.1,б к частице М приложены условно силы противодействия, действую- |
щие на самом деле не на частицу, а на тела с массами m1, …, mn. Ясно, что равнодейст-вующая этой системы сходящихся сил противодействия, R’=ΣF’k, по модулю равна R и направлена противоположно ускорению, т.е.: R’=-ma. Данная сила и является силой инерции, о которой говорится в определении. В дальнейшем будем ее обозначать буквой Ф, т.е.:
В общем случае криволинейного движения точки ускорение представляет собой сумму двух составляющих:
а сила инерции: |
|
где: |
|
Из (15.4) видно, что составляющие силы инерции направлены противоположно направлениям соответствующих составляющих ускорения точки. Модули составляющих силы инерции определяют по следующим формулам:
где ρ – радиус кривизны траектории точки.
После определения силы инерции рассмотрим принцип Даламбера.
Пусть дана механическая система, состоящая из n материальных точек (рис. 15.2). Возьмем одну из них. Все силы, действующие на k-ю точку, классифицируем по группам:
внешние и внутренние. Найдем главный вектор всех внеш- |
|
|||
них сил, действующих на k-ю точку, |
|
и к k-й точке, |
||
|
Действие этих сил и будет определять величину и на- |
|||
правление вектора ускорения, с которым будет двигаться k-я точка. Если теперь к фактически действующим на точку внешним и внутренним силам приложить фиктивную силу инерции, Ф, то вся система сил, приложенных к данной точке, будет приведена в равновесное состояние. Аналитически это можно записать следующим образом: |
||||
Выражение (15.6) отражает сущность принципа Даламбера, записанного для одной мате-риальной точки. Повторяя проделанные выше действия по отношению к каждой точке механической системы, можно записать систему n уравнений, подобных (15.6), что и будет являться математической записью принципа Даламбера применительно к механи-ческой системе. Таким образом, сформулируем принцип Даламбера для механической системы:
если к каждой точке механической системы в любой момент времени, кроме фактически действующих на нее внешних и внутренних сил, приложить соответствующую силу инерции, то вся система сил будет приведена в равновесное состояние и к ней можно будет применять все уравнения статики.
Следует иметь в виду:
- принцип Даламбера можно применять для динамических процессов, протекающих в
инерциальных системах отсчета. Этого же требования, как отмечалось ранее, следует придерживаться и при применении законов динамики;
- силы инерции, которые, согласно методики принципа Даламбера, необходимо прило-
жить к точкам системы, на самом деле на них не действуют. Действительно, если бы они существовали, то вся совокупность сил, приложенных к каждой точке, находилась бы в равновесии, и отсутствовала бы сама постановка задачи динамики.
Для равновесной системы сил можно записать следующие уравнения:
т.е. геометрическая сумма всех сил системы, включая и силы инерции, и геометрическая сумма моментов всех сил относительно произвольного центра равны нулю.
Учитывая свойства внутренних сил системы:
выражения (15.7) можно заметно упростить.
Вводя обозначения главного вектора
и главного момента
выражения (15.7) предстанут в виде:
Уравнения (15.11) являются прямым продолжением принципа Даламбера, но не содержат внутренних сил, что является их несомненным преимуществом. Их использование наиболее эффективно при исследовании динамики механических систем, состоящих из твердых тел.