12.2. Центр масс механической системы

Центром масс механической системы называется точка, положение которой опреде-

ляется следующими формулами

В векторном способе:

где		– масса механической системы; mk –
масса k-й точки системы;				– радиус-вектор цент-
ра масс и k-й точки системы.
В координатном способе: Следует различать понятия центра тяжести и центра масс системы, положения которых в однородном поле тяжести совпадают.

12.3. Дифференциальные уравнения движения системы

	Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек (рис. 13.2). Для описания движения всей системы необходимо найти уравнения движения каждой точки. Пусть на произвольную k-ю точку систе-мы действуют силы, которые могут быть поделены на внешние и внутренние, на основе приведенной выше классификации. Поскольку все силы приложены к точке, постольку они образуют две системы сходящихся сил: внешних и внутренних. Найдем равнодействующие этих
	систем:		и		(рис. 13.2).

Для написания уравнения k-й точки используем выражение основного закона динамики (11.1). При этом его правую часть представим как сумму двух сил, получим:

Аналогичное выражение можно получить для всех точек механической системы. Объединяя эти выражения, получим систему (13.6) дифференциальных уравнений дви-

жжения механической системы. Проведем ее анализ. Описание движения механической системы таким путем связано с получением уравнений для каждой точки. С одной стороны, этот путь позволяет наиболее точно решить данную задачу. Однако, на этом пути неизбежно возникают технические проблемы, связанные с нахождением всех внешних и внутренних сил, действующих на все точки систе-

мы. Кроме того, решение системы (13.6) с большим числом уравнений неизбежно связано с неприемлемой затратой машинного времени, что также не всегда реализуемо в инженерной практике. В то же время, решение инженерных задач зачастую не требует такой детализации в описании движения механической системы, которую подразумевает система дифференциальных уравнений (13.6). Обычно требуется установить изменение некоторых общих кинематических характеристик механической системы. В этом случае наиболее рациональным путем решения задачи является использование так называемых общих теорем динамики, к рассмотрению которых мы и переходим.

12.4. Движение центра масс механической системы

Найдем уравнение, описывающее движение характерной точки механической системы – ее центра масс. Для этого сложим почленно обе части уравнений (13.6), получим:

Преобразуем левую часть уравнения (14.1) с помощью выражения (13.3), определяющего положение центра масс системы.

Из (13.3) имеем:

Возьмем вторую производную от обеих частей (14.2), получим:

Учтем, что вторые производные от радиусов-векторов являются ускорениями соответствующих точек механической системы. Тогда выражение (14.3) перепишем в виде:

Учитывая, что левая часть (14.1) равна правой части (14.4), а также используя свойство 1 внутренних сил системы, получим уравнение движения центра масс:

Уравнение (14.5) выражает теорему о движении центра масс механической системы: произведение массы механической системы на ускорение ее центра равно геометрии-ческой сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Механический смысл данной теоремы виден в следующей формулировке: центр масс механической системы движется как материальная точка, имеющая массу всей системы и подверженная воздействию всех внешних сил, приложенных к самой системе.

Кроме векторной формы записи теоремы можно для решения задач использовать скалярную. Для этого выражение (14.5) следует спроектировать на координатные оси. Получим:

где

– проекции ускорения центра масс на координатные оси.

Практическое значение теоремы о движении центра масс состоит в следующем:

1. Теорема дает теоретическое обоснование методам динамики точки. Из (14.5) видно, что

результаты решения задачи о движении тела, представленного в виде материальной точки, относятся к конкретной точке тела – центру масс.

2. Решение задач на основе выражений (14.5) и (14.6) позволяет исключить из рассмотре-

ния внутренние силы системы. Это означает, что действие внутренних сил не влияет на движение центра масс механической системы.

Частным случаем записи выражений (14.5) или (14.6) является равенство нулю их правых частей. В этих случаях имеет место

закон сохранения движения центра масс механической системы.

1. Пусть

, тогда из (14.5) имеем: ас=0. Учитывая, что ас = dV / dt, получим:

V_c=const, т.е. центр масс системы движется с постоянной по модулю и направле-нию скоростью, т.е. равномерно и прямолинейно.

2. Пусть

но при этом:

тогда из (14.6) имеем: асх=0, что означает

V_cх=const, т.е. проекция скорости центра масс на эту координатную ось не меняет-ся со временем.