Лекция 10. Движение тела с одной неподвижной точкой

Примером такого движения является детский волчок. На рис. 9.10 показано тело, имею-

щее единственную неподвижную точку О. Для установления параметров, определяющих положение такого тела в пространстве, используем две системы отсчета: неподвижную – x1y1z1 и подвижную, связанную с самим телом, - xyz. Начало отсчета для обеих систем свяжем с неподвижной точкой О. Прямую ОК, являющуюся результатом пересечения двух плоскостей: подвижной (хОу) и неподвижной (х1Оу1), называют линией узлов. Положение тела в пространстве можно однозначно определить с помощью трех углов:

φ = ﮮКOх (угол собственного вращения),

ψ = ﮮ х₁ОК (угол прецессии) и

θ = ﮮ z₁Оz (угол нутации).

В таком случае, уравнениями движения тела будут зависимости вида:

По рис. 9.10 нетрудно представить, что изменение только угла φ приведет к вращению тела относительно оси Z. Если будет изменяться только угол ψ, то тело будет совершать прецессионное движение относительно оси Z₁. Изменение только угла θ характеризует процесс нутации – углового перемещения тела относительно оси ОК. Тогда, из 7 осей (рис. 9.10) для описания движения тела достаточно только 3, это z, z₁ и ОК.

Аналогично тому, как плоскопараллельное движение тела можно представить как непрерывная последовательность элементарных вращений относительно мгновенных центров скоростей, так и движение тела с одной неподвижной точкой можно рассматривать как последовательность элементарных поворотов вокруг мгновенных осей вращения. Это можно показать на основе теоремы Эйлера-Даламбера:

всякое элементарное перемещение тела, имеющего одну неподвижную точку, можно представить как элементарный поворот относительно мгновенной оси вращения, проходящей через эту точку.

Действительно, за время dt тело совершит элементарное перемещение, соответствующее изменению всех трех углов на величины dφ, dψ, dθ (рис. 9.11). Рассмотрим сначала вращение относительно осей Оz и Оz1. В плоскости zОz1 всегда можно найти такую точку, отсто-ящую от осей z и z1 на расстояния h1 и h2, суммарное пе-ремещение которой равно нулю, т.е. h1 dφ+h2 dψ=0. Имея две неподвижные точки, можно рассматривать перемещение тела как элементарный поворот относи-

сительно мгновенной оси вращения ON. Рассуждая подобным образом, можно найти точку в плоскости NOK, суммарное перемещение которой равно нулю. При этом элементарном перемещении тела произойдет изменение всех трех углов, определяющих его положение в пространстве. Таким образом, элементарный поворот тела с одной неподвижной точкой можно представить как элементарное вращательное движение относительно мгновенной оси ОР, проходящей через эту же точку, что и требовалось доказать.

Основные кинематические характеристики движения тела:

1. Угловая скорость ω, с которой тело совершает элементарный поворот относительно мгновенной оси вращения ОР. Вектор угловой скорости направлен по этой оси (рис. 9.12). Поскольку ось со временем меняет свое положение в пространстве, постольку и вектор ω

в каждый момент времени имеет новую ориентацию. Кривая, которую описывает вектор ω в пространстве, называется годографом ω. 2. Угловое ускорение ε – величина, характеризующая изменение угловой скорости: Чтобы представить ориентацию вектора ε в прост-ранстве, сравним (9.22) с выражением скорости точки,
	. Здесь прослеживается прямая аналогия.

Учитывая, что вектор V направлен по касательной к годографу радиуса-вектора, r, в векторном способе задания движения точки, можно предположить, что и вектор ускорения будет направлен по касательной к годографу угловой скорости (рис. 9.12).

Основные кинематические характеристики движения точки тела:

1. Скорость точки, V. Поскольку мгновенная ось вращения ОР меняет свое положение в пространстве, то использовать формулу скорости точки (9.10) при вращательном движении тела практически невозможно. Представляет интерес следующая формула:

Действительно, модуль вектора, который получается в ре-зультате векторного произведения ω на r, соответствую-щий точке где определяется скорость, равен:

что соответствует скорости точки, определяемой по формуле (9.10).

Направление V нормально плоскости, задаваемой векторами ω и r.

2. Ускорение точки, а, можно определить как производную по времени от вектора скорости: