Лекция 14. Кинетическая энергия. Работа

14.1. Работа силы

Понятие работы силы связывает два фундаментальных понятия: сила и энергия. Введем сначала понятие элементарной работы силы:

или, учитывая, что Fτ=Fcosα, получим: где dS – бесконечно малое перемещение точки М, показан- ное на рис. 14.7. Учитывая неоднозначность косинуса, знак работы получит-

ся положительный, если угол α между вектором силы, F, и скоростью, V, точки приложе-ния силы – острый. В противном случае, работа силы будет отрицательной. Другими словами, если сила увеличивает модуль скорости, то работа этой силы положитель-ная, и наоборот.

Выражение (14.48) используют при естественном способе задания движения точки. При использовании векторного способа параметр, определяющий положение точки, является радиус-вектором, r. Нетрудно показать, что элементарное изменение дуговой координаты, dS, эквивалентно элементарному перемещению, dr. Тогда, используя (14.49), получим:

т.е. элементарная работа силы равна скалярному произведению вектора силы на век-

тор элементарного перемещения точки ее приложения.

Решение задач в декартовой системе координат ведет к использованию проекций различных векторов на оси x, y, z. Выражение элементарной работы, в этом случае, можно

получить следующим образом. Представим вектор F в виде составляющих: Fx, Fy, Fz, а вектор dr – в виде проекций dx, dy, dz (рис. 14.8). Тогда работу силы F на перемещении dS можно представить как сумму трех величин: Остальные шесть величин равны нулю, т.к. составляющие силы на нормально ориентированных перемещениях выполнить работу не могут, т.е.:

Работа силы на конечном перемещении точки равна интегралу от соответствующего выражения элементарной работы (14.49)-(14.51).

В аналитической форме:

Мощностью называют величину, равную работе силы за единицу времени, т.е.:

V – скорость движения точки приложения силы.

Единицами измерения работы является [Дж], а мощности - [Вт].

Найдем выражения работы для наиболее часто встречающихся сил.

Работа силы тяжести

Пусть точка М движется по некоторой траектории под действием силы тяжести Р (РИС. 14.9). Определим работу этой силы на перемещении М₀М₁. Воспользуемся выражением (14.52), получим:

или:
где: h=z0-z1. Таким образом, работа силы тяжести равна произведению ее моду-ля на вертикальное перемещение точки приложе-ния силы. Работа будет положительной, если начальное положе-ние точки соответствовало больше аппликате, чем ко-нечному положению. Из полученного выражения

(14.54) следует, что значение работы силы тяжести не зависит от вида самой траектории. Силы, обладающие таким свойством, называются потенциальными.

Работа силы упругости

Примером такой силы является реакция пружины на ее деформацию. На рис. 14.10 показано тело М, к которому крепится пружина длиною l₀.

		Другим концом пружина крепится к неподвижной поверхности. При деформировании на величину Δl=l-l0 в пружине с коэффициентом жесткости, с, возникает си-ла F, старающаяся вернуть пружину в недеформирован-ное состояние, F=с* Δl=сх. Для определения работы этой силы на перемещение М0М1 воспользуемся формулой (14.52):
или:

где Δl₀, Δl₁ – начальная и конечная деформация пружины.

Сила упругости пружины, как видно из (14.56), также является потенциальной силой.

Работа внутренних сил твердого тела

Представим твердое тело как совокупность материальных точек, определенным образом связанных друг с другом. Зададим телу элементарное перемещение в пространстве. При этом все его точки совершат собственные элементарные перемещения. Рассмотрим две произвольные точки : j и k (рис. 14.11), положение которых определяют радиусы-векторы r_j и r_k. Элементарные перемещения этих точек будут dr_j и dr_k. Силы взаимодействия меж-ду точками любой пары, согласно III закону динамики, равны по модулю и противопо-ложны по направлению, т.е.:

Произвольное элементарное перемещение всего тела можно представить как геометрическая сумма поступательного и сферического перемещений. Тогда элементарное перемещение точки k будет равно:

где drj – элементарное перемещение точки k, соответ-ствующее поступательной составляющей перемещения всего тела; dr – элементарное перемещение точки k, соответ-ствующее сферической составляющей перемещения всего тела.

Определим величину суммы работ внутренних сил взаимодействия указанных на рисунке точек. Воспользуемся для этого выражением (14.50), получим:

Произведем небольшие преобразования последнего слагаемого (14.59), учитывая (14.57) и (14.58), получим:

Поскольку

, постольку

и

Тогда сумма элементар-

ных работ, указанных на рис. 14.11, внутренних сил будет равна нулю:

Так как каждой внутренней силе найдется такая же по величине, но противоположная по направлению другая внутренняя сила, то сумма элементарных работ всех внутренних сил твердого тела будет равна нулю, т.е.:

Аналогичный результат можно получить при определении суммы работ внутренних сил твердого тела, совершаемых на конечном перемещении. Действительно, работа силы на конечном перемещении можно представить как предел суммы элементарных работ.

Поэтому:

или: сумма работ внутренних сил твердого тела на любом его перемещении равна ну-

лю.

Работа вращающего момента

Определим работу вращающего момента M_Z(F), создаваемого силой F, показанной на рис. 14.12. Элементарная работа этой силы будет равна:

где h=MC (см. рис. 14.12), а Fτh=Mz(F). Тогда получим: т.е.: элементарная работа вращающего момента силы равна произведению его величины на элементарное приращение угловой координаты тела.

В случае, если к телу приложена система сил, то выражение (14.65) можно записать в виде:

Работа вращающего момента на конечном угловом перемещении тела будет равен:

где φ_о, φ₁ – начальная и конечная угловые координаты тела.