Лекция 17. Общее уравнение динамики

Рассмотренные выше два принципа позволяют создать универсальный метод решения задач динамики механических систем. Действительно, принцип Даламбера при-

водит систему в равновесное состояние, а принцип Лагранжа предлагает общий метод решения задач статики. Рассмотрим систему n материальных точек (рис. 15.6), на которую наложены идеальные связи. Если ко всем точкам системы, кроме фактически действующих на них активных, Fa, и сил реакций, N, приложить силы инерции, Ф, то система придет в равновесное состояние и к ней можно будет применить принцип возможных перемещений. В результате получим:
Учитывая, что на систему наложены идеальные связи, т.е.:			выражение (15.18)

принимает следующий вид:

Это выражение и есть общее уравнение динамики. Из него вытекает принцип Лагранжа-Даламбера: при движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма виртуальных работ всех приложенных активных и сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю.

В аналитической форме уравнение (15.19) имеет следующий вид:

Уравнения (15.19) и (15.20) позволяют решать задачи динамики механических систем как материальных точек, так и тел.

Лекция 18. Введение в теорию удара

18.1. Основное уравнение теории удара

Ударом называется явление, при котором за очень малый промежуток времени точ-

ки тела изменяются на конечную величину.

Особенность данного явления заключается в том, что при действии обычных «неударных сил» за время удара скорости точек тела не изменяют своих значений. Действительно, согласно теоремы об изменении количества движения материальной точки, имеем:

где V₀,V₁ – начальное и конечное значения скорости точки;

τ – время удара;

– среднее за время τ значение силы.

Поскольку τ→0, постольку при обычных значения сил левая часть выражения (17.1) будет практически равна нулю, т.е.: V₁=V₀. Изменение величины скорости точки на конечную величину будет иметь место только при действии сил с модулем, F~1/τ. Такие силы называются ударными.

Т.к. значения ударных сил очень велики, в время удара мало, то возникает ситуация, когда пришлось бы оперировать при решении задач большим диапазоном порядков чисел. Это создает некоторые технические проблемы. Избежать это можно путем использования вместо сил их импульсов. Тогда выражение теоремы об изменении количества движения точки при ударе примет следующий вид:

где U, V – конечное и начальное значения скорости точки;

S_k – импульс ударной k-й силы.

Ясно, что импульсы неударных сил будут, практически, равны нулю, и поэтому в выражение (17.2) не входят.

Уравнение (17.2) является основным уравнением теории удара и имеет в этой области такое же значение, как и основной закон динамики в случае неударных сил. Согласно (17.2): изменение количества движения материальной точки за время удара равно геометрической сумме ударных импульсов, действующих на эту точку.

Поскольку τ→0 и, соответственно, перемещение точки за время удара практически равно нулю, т.е. V^срτ→0, постольку можно считать, что изменение скорости точки происходит «на месте», при отсутствии ее перемещения.