2 Теорема об изменении момента количества движения точки

Пусть точка М под действием силы Р движется по некоторой траектории, обозначенной на рис. 14.4. Установим выражение, характеризующее изменение момента количества движения этой точки. Сила Р создает момент относительно центра О: где r – радиус-вектор, определяющий положение М в пространстве.

Возьмем производную от (14.26), получим:

В (14.30):

Т.к. первое слагаемое в правой части (14.30) представ-

ляет собой векторное произведение двух параллельных векторов, то оно равно нулю. Второе слагаемое является вектором-моментом силы Р относительно центра О, т.е.:

В окончательном виде выражение теоремы об изменении момента количества движения точки будет иметь следующий вид:

т.е.: производная по времени от момента количества движения материальной точки,

взятого относительно какого-либо неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

Следует заметить, что в правой части (14.32) указан момент одной силы. В общем случае на точку действует система сил. Поэтому выражение (14.32) может быть переписано для общего случая, как:

Проектируя обе части выражения (14.33) на координатные оси, получим выражение той же теоремы в скалярной форме. Например, на х:

3. Движение точки под действием центральной силы

Центральной называется такая сила, линия действия которой проходит через дан-

ный центр на протяжении всего движения точки.

Наглядным примером такой силы является притяжение Солнцем любой планеты, в какой бы точке свой траектории она не находилась. При этом линия действия силы все время будет проходить через Солнце. Рассмотрим эту задачу в общем виде. Пусть на точку М действует центральная сила F, линия действия которой пересекает центр О (рис. 14.5). По-

ложение точки определяет радиус-вектор r. Правая часть выражения (14.32) равна нулю, поскольку данная сила создать момент относительно точки О не может. Поэтому: или Полученный результат позволяет сделать следующие выводы. Поскольку вектор-момент количества движения точки не меняет свое направление в пространстве, по-

стольку два вектора, стоящие в левой части выражения (14.36) все время остаются в одной и той же плоскости (хОу – рис. 14.5). Это означает, что траектория точки будет являться плоской кривой. Постоянство модуля вектора-момента количества движения точки приводит к следующему:

На рис. 14.5 видно, что

тогда (14.37) можно переписать как:

Учитывая, что скорость точки V=ds/dt, а dS*h=2dσ (где dσ – элементарная площадь сектора, заштрихованного на рис. 14.5), получим:

где dσ/dt – секторная скорость.

Подводя итоги рассмотренной задачи, можно сделать общий вывод о том, что:

материальная точка под действием центральной силы движется по плоской кривой с постоянной секторной скоростью.