3. Координатный способ
Этот способ наиболее часто используют при решении задач. Системой отсчета является тройка взаимно перпендикулярных осей x, y, z (рис. 8.3). Положение точки М определяется ее координатами xМ, yМ, zМ.
Уравнения движения точки представляют собой однозначные функции этих координат от
|
времени:
Составляющие скорости точки по осям равны:
|
а ее модуль:
Направление вектора скорости в пространстве можно аналитически определить с помощью направляющих косинусов:
где |
|
- углы, которые образует вектор V с осями x, y, z соответственно. |
Ускорение точки М можно установить по его проекциям на координатные оси:
его модуль равен: |
|
Направление вектора ускорения в пространстве определяется направляющими косинусами:
где |
|
- углы, которые образует вектор ускорения с осями x, y, z соответственно. |
Лекция 7. Движение тела
1. Поступательное движение тела
Поступательным называется такое движение тела, при котором любая его прямая остается параллельной самой себе.
При поступательном движении точки тела могут описывать как прямолинейные, так и криволинейные траектории, что, и показано на рис. 9.1.
Свойства поступательного движения: при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и имеют в любой момент времени равные по
модулю и одинаковые по направлению скорости и ускорения. Возьмем две произвольные точки А и В на теле, совершающем поступательное движение. Опре-делим их положение относительно центра О ра-диусами-векторами rА и rВ (рис. 9.2). Из вектор-ного треугольника ОАВ получим: |
|
Видно, что годографы rА и rВ (или траектории точек А и В) отличаются только положением на постоянный вектор АВ. Неизменность модуля АВ вытекает из определения АТТ, а постоянство его направления – из определения поступательного движения тела. Взяв сначала первую, а затем вторую производную от обеих частей (9.1)
|
по времени, получим:
Второе слагаемое в правой части выражения (9.2) равно |
нулю, как производная от постоянной величины. Предыдущие члены этих выражений предоставляют собой скорости и ускорения точек А и В, соответственно. Учитывая сказанное, получим следующие зависимости:
что и указанно выше в свойствах поступательного движения тела.
Отсюда следует, что поступательное движение тела определяется движением одной какой- либо его точки. Поэтому, уравнением поступательного движения тела будет выражение вида:
2. Вращательное движение тела
Вращательным называется такое движение тела, при котором хотя бы две его точки
остаются неподвижными.
На рис. 9.3 видно, что положение тела при его вращательном движении можно определить
с помощью угловой координаты, |
|
которая откладывается от неподвижной плоскости |
I к подвижной плоскости II, жестко связанной с телом.
Однозначная зависимость угловой координаты от времени является уравнением враща-тельного движения:
|
Основными кинематическими характеристиками вращательного движения тела являются его: угловая скорость – величина, характеризующая изменение угловой координаты
и угловое ускорение – величина, определяющая изменение угловой скорости
|
По формулам (9.6) и (9.7) видно, что определить эти кинематические характеристики тела можно как пределы отношений соответствующих приращений. Выражение для скорости какой-либо точки М тела (рис. 9.3) можно получить из формулы (8.6):
где h – кратчайшее расстояние от точки М до оси вращения.
Выражение для касательной, ar, и нормальной, an, составляющих ускорения точки М могут быть найдены с помощью формул системы (8.8):
и
