1.9. Трёхуровневая электромагнитная система. Накопительная положительная обратная связь.
Для примера рассмотрим трёхуровневую электромагнитную систему на основе колебательного контура. В ней вход и выход замкнуты конденсатором.
Рис. 1.17. Трёхуровневая электромагнитная физическая система с положительной обратной связью, образованной конденсатором.
Рассмотрим вывод формулы Томсона.
Вывод формулы Томсона для колебательного контура.
Найдём решение для системы уравнений:
(1.60)
(1.61)
где IL – ток катушки индуктивности;
UC – напряжение на конденсаторе.
Для того, чтобы описать электромагнитные колебания в электрическом контуре, следует сначала написать уравнения для магнитной релаксаций (1.60) , преобразовав левую часть уравнения к заряду:
(1.60)
Далее:
(1.62)
Умножим обе части на RE:
(1.63)
В контуре, по правилам Киргофа:
(1.64)
(1.65)
(1.66)
Выразим напряжение на конденсаторе через ёмкость (см. (1.61)):
(6.61)
Затем:
(1.67),
или
(1.68),
и далее
(1.69).
Из (1.69) получили уравнение:
(1.70)
Учитывая множитель L (индуктивность):
(1.10),
получим:
(1.71)
Уравнение (1.71) имеет вид уравнения гармонического осциллятора с циклической частотой ώ собственных колебаний контура:
(1.72)
ώ - собственная частота контура.
Решением дифференциального уравнения 2-го порядка (1.71) является выражение, зависящее от начальных условий:
(1.73)
Для напряжения:
(1.74)
Для тока:
(1.75)
Для получения уравнения гармонического осциллятора сигналов в колебательном контуре не требуются уравнения Максвелла, хотя обычно в математической физике приводят решение через уравнения Максвелла. Для вывода достаточно уравнения для магнитной релаксации (1.60) и уравнения для напряжения на конденсаторе (1.61), в зависимости от ёмкости.
Предположим вариант, где уравниваются между собой две релаксации: магнитная и электрическая. Это будет своеобразная «симметрия» магнитных и электрических явлений. Мы получим формулу, соответствующую положительной обратной связи, но отличающуюся от уравнения гармонического осциллятора. Это явление: экспоненциальный рост тока во времени, наверное, можно наблюдать при электрическом разряде в газовой среде – молнии. Итак, сделаем второй «симметричный» вывод формулы. Найдём решение для системы уравнений:
(1.76)
(1.77).
где IL – ток катушки индуктивности;
UC – напряжение на конденсаторе.
Для того, чтобы описать электромагнитные колебания в электрическом контуре, следует сначала написать уравнения для магнитной релаксаций (1.75) , преобразовав левую часть уравнения к заряду:
(1.76)
Далее:
(1.78)
Умножим на RE обе части уравнения:
(1.79)
В контуре, по правилам Киргофа:
(1.80)
(1.81)
Поэтому:
(1.82)
Преобразуем уравнение (1.76) для электрической релаксации:
(1.77),
далее:
(1.83).
Подставим (1.83) в (1.82):
(1.84),
далее:
(1.85),
далее:
(1.86)
А уравнение для магнитной релаксации выглядит так:
(1.62)
или:
(1.87)
Уравнение (1.85) имеет вид неявной функции, и выражает накопительную положительную обратную связь. Итак, мы имеем два уравнения: уравнение для накопительной положительной обратной связи (1.85) и уравнение для релаксации (накопительной отрицательной обратной связи) (1.87), и можем их сравнить:
(1.85),
(1.87)
Уравнения (1.85) и (1.87) различаются только знаком в правой части уравнения. Знак «-» определяет накопительную отрицательную обратную связь, знак «+» определяет накопительную положительную обратную связь. Решение уравнения (1.85) - растущая во времени экспоненциальная функция, что характерно для лавинообразных процессов. Думаю, что таким процессом (1.85) может описываться электрический разряд через газовую среду - ток молнии.