3. Методика экспериментов с инерционным движением, и расчёт их математических моделей.
Для того, чтобы найти «правильную» экспоненту и правильный вид уравнения (2.02), поставим более сложный опыт. Это опыт с инерциальным движением в условиях сопротивления движению – постепенное затухание вращения велосипедного колеса. Колесо вращается горизонтально, в воздухе, без соприкосновения с дорогой. Движение (вращение) велосипедного колеса вдоль шкалы расстояния будем фиксировать видеосъёмкой с частотой кадров 300 кадров в секунду.
Для определения пройденного расстояния, на шину колеса наклеим метку розового цвета.
Вес колеса: 2, 885 кг.
Длина окружности колеса по шине равна 2,02 метра.
Видео 2. Эксперимент с вращательным инерциальным движением велосипедного колеса в условиях сопротивления среды.
Видеофайл: CIMG 6458.MOV.
По видео, при помощи программы AVS –редактор (AVS – редактор ver 6.3.3. 235.), составим таблицу.
время (сек) |
расстояние (М) |
2.8260 |
0 |
3.4860 |
2.02 |
4.0140 |
4.04 |
4.5500 |
6.06 |
5.1020 |
8.08 |
5.6700 |
10.1 |
6.2500 |
12.12 |
6.8500 |
14.14 |
7.4700 |
16.16 |
8.1060 |
18.18 |
8.7660 |
20.2 |
9.4460 |
22.22 |
10.1540 |
24.24 |
10.8940 |
26.26 |
11.6580 |
28.28 |
12.4620 |
30.3 |
13.3060 |
32.32 |
14.1980 |
34.34 |
15.1380 |
36.36 |
16.1460 |
38.38 |
17.2220 |
40.4 |
18.3980 |
42.42 |
19.6900 |
44.44 |
21.1460 |
46.46 |
22.8300 |
48.48 |
24.9020 |
50.5 |
27.7740 |
52.52 |
|
|
Таблица 2. Экспериментальные данные опыта инерционного движения (вращения) велосипедного колеса в условиях сопротивления движению.
При построении математической модели, от значения времени (см. таблицу 2) будем отнимать время старта – 3.0 секунды.
График экспериментальных данных приведён на рис. 7. Точки графика координаты синего цвета. Последняя точка графика (приблизительно) – это точка остановки движения тела (ТОДТ).
На рисунке 8. построим график скорости точками красного цвета.
Рис. 7. Экспериментальные данные: график координаты инерционного движения (вращения) велосипедного колеса в условиях сопротивления движению.
Рис. 8. Экспериментальные данные: график скорости инерционного движения (вращения) велосипедного колеса в условиях сопротивления движению.
График скорости должен иметь вид экспоненты. На рисунке 8 мы видим только часть экспоненты.
Изучив график, мы можем заметить, что экспонента смещена на величину 4 м/ сек. вниз. В то же время, 4 м/сек – это начальная скорость V0, с которой было раскручено колесо. Экспонента имеет «амплитуду», то есть размах, равный удвоенной начальной скорости 2V0.
В результате мы можем получить математическую модель для графика скорости:
(3.03)
Где τ – время.
Или
(3.04)
Теперь, для получения математической модели для графика скорости, необходимо найти два параметра: V0 и k.
V0 нам уже известно – это 4 м / сек.
Подобрав параметр k = 0,0226 сек -1 , (это значение можно и вычислить, подставив экспериментальные данные в уравнение (3.04)), получим математическую модель для инерциального движения в условиях сопротивления движению (ИДВУСД).
На рисунке 9. построим математическую модель для экспериментальных данных графика скорости.
Рис. 9. Математическая модель к графику скорости инерционного движения (вращения) велосипедного колеса в условиях сопротивления движению. График математической модели построен зелёным цветом. Точки экспериментальных данных скорости построены красным цветом.
Теперь, когда график скорости нам известен, можно методом интегрирования получить график для координаты.
(3.05)
Обозначим величину:
(3.06)
Уравнения (3.04) и (3.05) называются уравнениями инерциального движения в условиях сопротивления движению.
Физический смысл уравнений:
Уравнения (3.04) и (3.05) определяют ИДВУСД как движение с удвоенной начальной скоростью, которое происходит в условиях противопротока со скоростью –V0.
Это значит, что среда (эфир), создаёт противо-течение со скоростью –V0, и этот противопоток длится в неизменном виде в течение всего периода движения тела.
На рис. 10. построим математическую модель точками зелёного цвета для графика координаты инерционного движения (вращения) велосипедного колеса в условиях сопротивления движению.
Рис. 10. Математическая модель к графику координаты инерционного движения (вращения) велосипедного колеса в условиях сопротивления движению. График математической модели построен зелёным цветом. Точки экспериментальных данных координаты построены синим цветом.
Функция (3.05) имеет экстремум – максимум, и если продолжить ось времени, то максимум можно будет наблюдать. Между тем, точки графика координаты обрываются вблизи от экстремума. Там и располагается точка (ТОДТ) – точка остановки движения тела. На рисунке 11 показана математическая модель координаты при другом масштабе времени.
Рис. 11. То же, что и на рисунке 10 (согласно уравнению (3.05)), но при другом масштабе времени. Как мы видим, точки опытных данных координаты обрываются вблизи от экстремума. Экспериментальные данные координаты обозначены точками синего цвета, точки математической модели – зелёного цвета.
Рис. 12. То же, что и на рисунке 9 (согласно уравнению (3.04)), но при другом масштабе времени. Как мы видим, точки опытных данных скорости обрываются вблизи от перехода скорости в отрицательные значения. Красной линией отмечено значение +V0, синей линей отмечено значение –V0. Экспериментальные данные скорости обозначены точками красного цвета, точки математической модели – зелёного цвета.
Также, изменив масштабы, можно более полно наблюдать экспоненту согласно уравнению (3.04) . На рисунке 12 представлена математическая модель скорости в другом масштабе.
На рисунке 12 видна точка остановки движения тела (ТОДТ) – это точка располагается на графике экспоненты выше точки перехода экспоненты в отрицательные значения.
Можно вычислить время, которое необходимо для достижения точки перехода экспоненты с положительных значений в отрицательные.
Это время вычисляется так:
(3.07)
Где τ0 - постоянная времени.
(3.08)
Для нашего опыта D = 30,67 сек, τ0 = 44,247 сек. Коэффициент k также называется коэффициентом затухания (в данном случае: коэффициентом затухания движения).
Также, иногда необходимо вычислить такой параметр движения, как «сопротивление силе» RN.
(3.09)
При массе 2,885 кг, можно вычислить RN = 0,06520 кг/ сек.
Как мы видели, математическая модель к ИДВУСД находится очень легко: по графику скорости находим V0, а затем находим всего лишь один параметр k. Воспользуемся этим методом создания модели, и найдем математические модели для инерционного движения в условиях сопротивления движения (ИДВУСД) для других тел.