3.2. Закон самоиндукции. Направление процесса: спад магнитного поля.
Проведём опыт со спадом тока в катушке, замкнутой на резистор 0,1 ома. Графиком опыта является падающая экспонента. (см. рис. 3.4.)
Рис. 3.4. График спада тока в катушке, индуктивностью 0,214 генри, при токе источника 2,7 ампера, через общее сопротивление 5,5 ома, в зависимости от времени.
Для того, чтобы доказать экспоненциальность графика, следует построить график экспериментальных данных в полулогарифмическом масштабе, преобразовав шкалу ординат согласно уравнению:
(3.03)
На рисунке 3.5 построен график экспериментальных данных в полулогарифмическом масштабе.
Рис. 3.5. График спада тока в катушке в зависимости от времени преобразован к экспоненциальному виду и построен в полулогарифмическом масштабе.
4. Особенности процесса релаксации.
4.1. Дифференциальное уравнение процесса релаксации.
Все приведённые выше эксперименты относятся к релаксациям.
Релаксация – это процесс спада (или нарастания) во времени некоторого физического параметра. Но не любой спад (нарастание) можно назвать релаксацией.
Видимо, здесь существенную роль играет дифференциальное уравнение, по которому происходит процесс.
Математически это уравнение можно выразить так:
(4.01)
где y – параметр релаксации;
x – время.
Решением уравнения (4.01) будет выражение:
(4.02)
Графиком уравнения (4.02) является спадающая экспонента, что мы и наблюдали в приведённых выше экспериментах.
Изучая выражение (4.01) можно отметить, что это неявная функция. Неявные функции отражают наличие обратных связей.
Можно сделать вывод, что дифференциальное уравнение (4.01) представляет собой уравнение для накопительной (интегральной) отрицательной обратной связи (НООС).
Подобное уравнение существует в формуле сложных процентов. Там дифференциальное уравнение выглядит так:
(4.03)
где y – растущий параметр;
x – время.
Решением уравнения (4.03) будет выражение:
(4.04)
Уравнение сложных процентов (4.03) представляет собой уравнение для накопительной (интегральной) положительной обратной связи (НПОС). Графиком решения этого уравнения является растущая экспонента.
4.2. Интегратор – модель процесса релаксации.
В радиотехнических цепях существует схема, называемая интегратором, которая реализует функцию уравнения (4.01). Такая схема имеет отрицательную обратную связь. В качестве цепи обратной связи используют накопительный элемент – конденсатор.
Интегратор – это электронная модель физических процессов, происходящих при релаксациях тепла, электричества и магнетизма. Чтобы более детально изучить модель интегратора, и дать определение его основным физическим параметрам, рассмотрим интегратор на примере бассейна. Бассейн, в который набирается вода –модель процесса релаксации. Эта модель похожа на задачу с бассейном, у которого есть 2 трубы. В своё время, в книге «Занимательная физика 2» (стр 65.) Яков Исидорович Перельман отметил, что задача эта некорректна из-за того, что в верхнюю трубу (наполнение бассейна) вода подаётся под стабильным давлением, а в нижнюю трубу вода идёт под переменным давлением, зависящем от уровня воды в бассейне.
Чтобы не было такой физической неточности, определим, что вода в бассейн закачивается насосом через верхнюю трубу, а также выкачивается насосом через нижнюю трубу.
Чтобы задача с бассейном соответствовала дифференциальному уравнению (4.01), следует установить в бассейне не простые насосы, а управляемые согласно некоторой функции тока. Насосы создают ток воды в соответствие с неким «законом Ома», где ток воды пропорционален уровню воды в бассейне. Для этого в бассейне мы установим датчик уровня. Датчик уровня всегда определяет разницу между уровнем воды в бассейне и нулевым уровнем U0. Нулевой уровень воды в бассейне U0 – это уровень стабилизации, и он не всегда соответствует дну бассейна. Уровень стабилизации выберем произвольно. В процессе ООС уровень воды в бассейне (мгновенная величина уровня) будет постепенно с течением времени приближаться к уровню U0.
Рис. 4.1. Модель системы с накопительной отрицательной обратной связью: автоматическая стабилизация уровня воды в бассейне при уровне воды ниже уровня стабилизации.
Рис. 4.2. Модель системы с накопительной отрицательной обратной связью: автоматическая стабилизация уровня воды в бассейне при уровне воды выше уровня стабилизации.
Пояснения к рисункам 4.1. и 4.2.
С – обозначено место ёмкости системы;
ДУ – датчик уровня;
Um – текущий (мгновенный) уровень воды;
U0 – уровень стабилизации;
Н – насос;
I1 – величина тока системы;
СУ – система управления производительностью насоса.
Рассмотрим задачу со стабилизацией уровня для случая, когда текущий (мгновенный) уровень выше уровня стабилизации. В такой задаче необходима только нижняя труба с насосом.
Определение 1. Разность уровня воды в бассейне и уровня стабилизации – это потенциал системы.
(4.05)
Определение 2. Закон тока системы это уравнение, которым связан ток и потенциал.
В данном случае закон тока системы имеет вид:
(4.06)
U – величина потенциала системы;
I1 – величина тока системы;
R – сопротивление для тока системы.
Определение 3. Ёмкость системы – это площадь сечения бассейна, умноженная на плотность воды.
(4.07)
Определение 4. Заряд системы Q – это масса воды, определяемая уровнем U (потенциалом).
(4.08)
Потенциал системы можно вычислить так:
(4.09)
Определение 5. Энергия системы E – это потенциал, умноженный на заряд:
(4.10)
Здесь можно заметить, что энергия системы пропорциональна потенциальной энергии столба жидкости. Есть только одна особенность энергии системы: энергия системы выражается необязательно в единицах энергии (джоулях). Так, как заряд системы – это произвольная единица, то и единица энергии системы связана с зарядом.
Физический смысл энергии системы в том, что с возникновением разности потенциалов системы, появляются внешние силы, стремящиеся снизить эту разность потенциалов.
Здесь мы столкнёмся с некоторым противоречием.
Энергия системы – это не та, знакомая нам со школьных учебников энергия. Почему?
Во-первых, она измеряется в разных физических единицах, в зависимости от единицы заряда системы.
Во-вторых, закон сохранения энергии системы работает совсем не так, как это предложено в существующем учении об энергии. Закон сохранения энергии системы существует (также как и закон сохранения заряда системы), но этот закон имеет вид закона преобразований энергий системы. Это значит, что суммирование энергий, принятое в современной физике – недопустимо для энергий системы. Преобразование же из одного вида энергии системы в другую энергию системы можно описать математически, что мы сделаем в дальнейшем.
Определение 6. Основное уравнение, называемое уравнением заряда-энергии системы, связывает заряд и энергию системы с потенциалом:
(4.11)
Если образно, рассматривать систему как здание, то энергия системы – это крыша, а заряд системы – это фундамент. И в основном уравнении заряда-энергии системы мы видим расположение: энергия системы в числителе; заряд системы – в знаменателе.
Определение 7. После того, как мы определили закон тока системы, мы можем вывести основное дифференциальное уравнение управления (ОДУУ):
(4.12)
Знак «-» здесь указывает на присутствие накопительной ООС, и отражает правило Ленца.
τ - время;
Q – заряд системы.
I1 – это ток, выраженный через потенциал системы.
Далее преобразуем основное дифференциальное уравнение управления:
(4.13)
Далее разделим обе части на ёмкость C:
(4.14)
Далее:
(4.15)
Далее:
(4.16)
Здесь (4.16) мы получили ОДУУ - основное дифференциальное уравнение управления, которое присутствует в трёх релаксациях: магнитной, электрической и тепловой.
В уравнении (4.16) параметр имеющий вид произведения RC называется постоянной времени системы τ.
(4.17)
Имея только закон движения субстанции (тепла; электрического заряда; субстанции, участвующей в магнитных процессах) и структуру обратной связи (НООС), мы смогли вывести законы релаксаций.
Современные законы физики имеют отклонения от модели НООС. Эти отклонения и необходимо рассмотреть.