10.6. Дифференциальное уравнение энергии трехмерной нестационарной теплопроводности твердых тел
Для определения
количества теплоты, проходящей за время
через изотермическую поверхность
твердого тела конечных размеров,
необходимо проинтегрировать уравнение,
отражающее закон Фурье, по
и
,
т.е. необходимо знать температурное
поле внутри рассматриваемого тела и
знать, как оно изменяется с течением
времени.
Д
ля
решения этой задачи выводится
дифференциальное уравнение теплопроводности
при следующих допущениях: тело однородное,
физические параметры его постоянны. В
соответствии с законом сохранения
энергии количество теплоты (
),
введенное в элементарный объем за время
путем теплопроводности, плюс количество
теплоты, выделяемое внутренними
источниками
,
должно быть равно изменению внутренней
энергии вещества (
):
Для определения
членов этого уравнения в декартовой
системе координат выделим в теле
элементарный параллелепипед со сторонами
(рис. 10.4). Подводимую
теплоту обозначим через
,
а отводимую –
.
Тогда для грани
из закона Фурье найдем:
;
Разность величин
представляет
собой количество теплоты, остающейся
в параллелепипеде:
.
Аналогичные зависимости получаются для двух других граней:
;
.
Тогда общее количество теплоты, оставшееся в теле, равно:
Если обозначить
через
удельную теплопроизводительность
внутренних источников тепла, то можно
записать:
.
Изменение внутренней энергии тела за время составляет:
.
Таким образом, окончательно получим:
или
.
Введем обозначение:
– коэффициент температуропроводности,
который характеризует степень
нестационарности режима. Подставим его
в последнее уравнение, получим:
Таким образом, получено уравнение, связывающее временное и пространственное изменения температуры в любой точке тела.
10.7. Теплопроводность при стационарном режиме
Дифференциальное уравнение теплопроводности при стационарном режиме без внутренних источников теплоты имеет вид:
Для решения конкретной задачи к этому уравнению надо присовокупить соответствующие граничные условия. Рассмотрим несколько простейших случаев определения стационарного поля температур в телах различной формы.
Плоская стенка
Рассмотрим
неограниченную тонкую стенку толщиной
(рис. 10.5).
Пусть на поверхностях
стенки поддерживаются соответственно
температуры
и
.
Если
и
не зависят от z и y,
то очевидно, искомое температурное поле
тоже не будет зависеть от этих координат
и тогда:
.
(10.2)
При отыскании распределения поля температур используем граничные условия:
при
при
П
редставим
выражение (10.2) в виде:
.
После первого интегрирования имеем:
или
.
После второго интегрирования имеем:
.
Постоянные
и
определим из граничных условий. Из
первого граничного условия имеем:
;
из второго граничного условия определим константу :
,
откуда
.
Таким образом, решением уравнения (10.2) будет выражение:
,
т.е. функция T(x) линейно зависит от x.
Н
айдем
плотность теплового потока. Согласно
закону Фурье:
или в данном случае:
.
Определим количество теплоты потока через стенку в единицу времени:
,
где F – площадь стенки.
Теперь определим плотность теплового потока через трехслойную стенку (рис. 10.6).
Для каждого слоя можно записать следующие выражения:
для первого слоя
;
(10.3)
для второго слоя
;
(10.4)
для третьего слоя
.
(10.5)
Из уравнений (10.3) – (10.5) можно найти термическое сопротивление трехслойной стенки. Для этого сначала определим местные температурные напоры на каждой стенке:
.
Почленно сложив эти уравнения, получим:
,
откуда
.
На основании последнего выражения для многослойной стенки получим:
,
(10.6)
где n – количество слоев.
С вводом обозначения
,
(10.7)
где
– эквивалентная теплопроводность,
выражение (10.6) можно представить в виде:
.