5.3 Методичні вказівки до розв’язання задачі

Перед розв’язанням слід ознайомитись з основними теоретичними положеннями, що наведені в додатковій літературі [1, 2, 4] та узагальнені у п. 5.2.

Задача розв’язується графічним методом. Тому слід зауважити, що графічні побудови повинні робитися акуратно, з урахуванням напрямів сил і ланок, а також з обов’язковим дотриманням масштабів побудов.

Практичні рекомендації щодо розв’язання задачі з метою спрощення розуміння методів надані у прив’язці до конкретного механізму, що розглянутий в прикладі виконання РГР у наступному розділі.

5.4 Приклад виконання ргр – 5

Умова завдання

Задано кінематичну схему плоского важільного механізму з позначеним навантаженням ланок (рис. 5.1).

Рисунок 5.1 – Схема механізму

Сила прикладена в точці D i-тої ланки. На ланку 3 діє момент сил і сила ваги , прикладена в центрі ваги цієї ланки. Задані сили і моменти сил: Р2 = Р3 =100 Н,  М3 =15 Н·м, G3 = 80 Н. Розміри ланок:

Потрібно визначити:

1) реакції в кінематичних парах і урівноважуючий момент, прикладений до ланки ОА, методом планів сил;

2) урівноважуючий момент, прикладений до ланки ОА, методом М. Є. Жуковського.

Розв'язок

1. Побудуємо кінематичну схему механізму в умовному масштабі (рис. 5.2а). На схемі покажемо задані сили , а також момент сил М₃ , що діє на ланку 3. Урівноважуючий момент, який треба визначити, прикладемо (згідно умови) до вхідної ланки ОА. Напрямок моменту приймаємо довільним ¹. Силовий розрахунок виконаємо без урахування сил і моментів сил інерції Даламбера, тобто за статичним методом.

Обидва запропоновані в умові методи реалізації розв’язку потребують певних дій з силами. Тому момент М₃ замінимо парою сил , які прикладемо до кінцевих точок ланки 3 (в точках В і С), перпендикулярно до ланки 3, у напрямі дії моменту М₃.

Модулі сил пари дорівнюють:

(5.1)

2. Визначимо реакції в кінематичних парах механізму і урівноважуючий момент, прикладений до ланки ОА, за методом планів сил.

Механізм умовно розділимо на структурні групи і механізм I-го класу. Маємо формулу будови механізму:

I (0,1) → II (2,3).

Силовий розрахунок починаємо з кінцевої структурної групи (2,3). Потім розглянемо рівновагу вхідної ланки 1.

а) схема механізму	б) важіль Жуковського
в) група Ассура (2, 3)	г) план сил групи (2, 3)
д) ланка ОА	е) план сил ланки ОА
Рисунок 5.2 – Графічна частина розв’язку

Структурна група (2,3)

Побудуємо групу (2,3) в довільному масштабі (рис. 5.2в). Покажемо активні сили, що діють на неї .

В кінцевих шарнірах А і С прикладемо сили реакцій, що діють на ланки 2 і 3 з боку інших ланок механізму.

В шарнірі А силу (сила, що діє на ланку 2 з боку ланки 1) розкладемо на складові: нормальну і тангенціальну . В шарнірі С силу (сила, що діє на ланку 3 з боку стійки 0) також зобразимо у вигляді суми нормальної і тангенціальної складових. Напрямок складових приймаємо довільно.

Система сил, що діє на групу (2,3), є плоскою урівноваженою. Для визначення невідомих сил застосуємо умови рівноваги у вигляді рівнянь:

, (5.2)

де - головний вектор системи сил в площині дії сил;

– алгебраїчне значення головного моменту системи сил в площині їх дії, відносно будь-якого центру О.

З першої умови в (5.2) маємо рівняння рівноваги сил, прикладених до групи (2,3)

. (5.3)

В цьому рівнянні двома рисками позначені вектори, в яких напрямок і величина є відомими. Вектори, в яких відомий тільки напрямок, позначені однією рискою. Отже рівняння (5.3) має 4 невідомих параметри, що свідчить про неможливість його розв’язання будь яким шляхом і, у тому числі, шляхом графічних побудов. Цієї проблеми можна уникнути, якщо величини складових і знайти аналітично, використовуючи рівняння моментів в умові (5.2).

Для визначення складемо рівняння рівноваги моментів сил, що діють на ланку 2, відносно внутрішнього шарніру В:

. (5.4)

З цього маємо .

Складову визначимо з рівняння рівноваги моментів сил, що діють на ланку 3, відносно того ж внутрішнього шарніру В:

. (5.5)

Звідси .

Тепер складові і можуть бути знайдені графічним шляхом за допомогою плану сил групи (2,3) (рис.5.2,г). Для цього, у відповідності до рівняння (5.3), побудуємо векторний многокутник сил. Приймаємо масштабний коефіцієнт побудов на плані - Н/мм.

Довжину відрізків, що зображують сили, визначимо за формулами:

. (5.6)

Побудову силового многокутника проводимо в такій послідовності.

З довільної точки а відкладаємо відрізок ав, який зображує в масштабі реакцію . Далі послідовно відкладаємо сили (відрізок вс), (відрізок сd) і (відрізок de). Нормальні складові реакцій (відрізок fa) і (відрізок ef ) отримаємо графічно, на перетині прямих, проведених з точок а і е у напрямку векторів і . Величини цих сил знайдемо після вимірювання відрізків fa і ef і подальшого помноження їх довжин на масштабний коефіцієнт .

(5.7)

Повні реакції в кінематичних парах А і С знайдемо за формулами:

Н; (5.8)

Н . (5.9)

Для визначення реакції запишемо рівняння рівноваги сил, прикладених до ланки 2 :

. (5.10)

З плану сил (рис.5.2г) видно, що відрізок сf відповідає реакції . Величина цієї реакції дорівнює:

Н. (5.11)

Цю ж силу можна було визначити інакше, а саме - розглянути рівновагу ланки 3. Тоді з рівняння рівноваги і плану сил для ланки 3 отримали би Н, причому .

Зауваження 1.

Слід зазначити, що нормальні складові реакцій в шарнірах А і С можна знайти не лише графічним способом. Прийнятними для цього можуть бути також графоаналітичний або аналітичний методи. Для прикладу, розглянемо визначення і за допомогою аналітичних рівнянь рівноваги моментів.

Складову визначимо з рівняння моментів сил, що діють на групу (2,3) відносно точки С:

(5.12)

;

Складову визначимо з рівняння моментів сил, що діють на групу відносно точки А.

(5.13)

;

Як бачимо, результати, отримані аналітично, збігаються з попередніми результатами, що визначені за методом планів сил.

Вхідна ланка ОА.

Побудуємо кінематичну схему вхідної ланки ОА в заданому положенні (рис. 5.2д). Покажемо сили, що діють на неї. В точці А з боку ланки 2 діє сила , величина і напрямок якої є відомими. (Замість сили можна зображати її складові, величина і напрямок яких теж відомі.) Урівноважуючий момент замінимо парою сил , прикладеною у точках О і А, перпендикулярно до ланки ОА і у напрямку . В шарнірі О зображуємо силу реакції , розклавши її на відповідні складові: нормальну і тангенціальну . Прикладена до ланки ОА система сил є плоскою урівноваженою.

З урахуванням (5.2) складемо рівняння рівноваги сил, прикладених до ланки ОА.

. (5.14)

Невідомі величини і знайдемо с плану сил (рис. 5.2е), побудованому в масштабі Н/мм. Для цього визначаємо довжину відрізків, що зображують відомі сили:

(5.15)

Побудову плану сил проводимо в такій послідовності.

З довільної точки а відкладаємо відрізок ав, який зображає в масштабі силу . Далі відкладаємо силу (відрізок вс). Невідомі за величиною сили (відрізок сd) і (відрізок da) знаходимо графічно, на перетині прямих, проведених з точок а і с у напряму відповідних зусиль. Далі, складові реакції в шарнірі О знаходимо після вимірювання відрізків сd і da і помноження їх довжин на масштабний коефіцієнт .

(5.16)

Тоді повна реакція

Н. (5.17)

Реакції в кінематичних парах знайдені.

Урівноважуючий момент М_УР можна визначити, якщо знайти хоча б одну з сил, що складають пару (рис. 5.2д). Для цього розглянемо рівняння рівноваги моментів сил, прикладених до ланки ОА, відносно точки А:

(5.18)

З цього рівняння маємо

Н.

Тоді .

Зауваження 2.

Урівноважуючий момент можна знайти значно простіше, якщо розглянути рівновагу моментів сил, прикладених до ланки ОА, відносно точки О:

(5.19)

Н∙м.

Складову можна визначити аналітично з рівняння моментів сил, що діють на ланку відносно точки Е:

. (5.20)

Звідки Н ≈ 18 Н.

Результати розрахунків збігаються з отриманими раніше.

3. Визначимо урівноважуючий момент за методом М. Є. Жуковського.

Визначимо урівноважуючий момент за важелем Жуковського. Для цього будуємо в довільному масштабі план швидкостей (рис. 5.2б). На ньому, використовуючи теорему подібності, знаходимо положення точок а, в, с, d, S₃, , що є точками прикладання сил на плані механізму.

Переносимо всі сили з механізму на план швидкостей, повертаючи їх на 90° проти годинникової стрілки і прикладаючи у відповідних точках.

Складаємо рівняння рівноваги моментів сил відносно полюса плану швидкостей:

. (5.21)

.

З плану швидкостей видно, що

Тоді

Цей результат збігається зі значенням , що знайдено за методом планів сил (див. п. 2).

Остаточно маємо:

Н·м. (5.22)

РГР – 6. ВИЗНАЧЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ПАРАМЕТРІВ НОРМАЛЬНОГО ЗУБЧАСТОГО КОЛЕСА ЗОВНІШНЬОГО ЕВОЛЬВЕНТНОГО ЗАЧЕПЛЕННЯ