2.3.7. Прочностная сторона задачи

Здесь используем условия прочности стержней в виде двойных неравенств (2.6) и их решение по формулам (2.7):

i = 1: N₁ = R₂ = 446333 + 46,0431A; с₁ = + 446333 H; d_i = 46,0431 МПа; v₁ = 2; МПа.

Находим требуемый параметр площади

i = 2: N₂ = R₂= – 54650 – 54,2939A; c₂ = – 54650 H; d₂ = –54,2939 МПа; v₂ =3; МПа.

Находим требуемый параметр площади

i = 3: N₃ = – R₃ = –187680 + 19,2267A; c₃ = – 187680 H; d₃ = 19,2267 МПа; v₃  = 1; МПа.

Находим требуемый параметр площади

Из трёх значений параметра площади в качестве окончательного принимаем наибольшее как удовлетворяющее всем условиям прочности:

Вычисляем требуемые площади всех стержней А_i:

А₁ = v₁A = 2∙1629 = 3258 мм²; А₂ = v₂А = 3А = 3∙1629 = 4887 мм²;

А₃ = v₃А = А = 1629 мм².

2.3.8. Проверка правильности решения задачи

1. Статическая проверка.

Вычисляем окончательные значения опорных реакций и продольных сил

R₁ = 446333 + 46,0431∙1629 = 521337 Н;

R₂ = –54650 – 54,2939∙1629 = –143095 Н;

R₃ = 187680 – 19,2267∙1629 = 156360 Н.

N₁ = R₁ = 521337 Н; N₂ = R₂= – 143095 Н; N₃ = – R₃ = – 156360 Н.

Согласно геометрическому условию равновесия для системы сходящихся сил (F, R₁, R₂, R₃) необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник получился замкнутым. Выбираем масштабный коэффициент из условия, чтобы активная сила F изображалась вектором длиной 100 мм

Тогда реактивные силы будут изображаться векторами, длины которых, соответственно, равны:

для R₁: ≃130 мм; для R₂: ≃36 мм; для R₃: ≃39 мм.

Силовой многоугольник начинаем строить из произвольно выбранного полюса О, проводя последовательно вектора под углами к оси Х (горизонтали) соответственно равными β_F, β₁, β₂, β₃ (рис. 2.5). При положительных значениях реакций R_i направления векторов на рис. 2.3 и 2.5 должны совпадать, а при отрицательных значениях реакций эти векторы должны быть противоположны.

Рис. 2.5. Статическая проверка.

Построение силового многоугольника

Абсолютная ошибка ∆_F пропорциональна отрезку 4–0. В примере он составляет 0,5 мм, что соответствует ∆_F = (4–0)∙ = 0,5∙4 = 2 кН. Относительная погрешность по сравнению с активной силой – допустимая величина.

Если ошибка превышает допустимую величину, то необходимо проверить построения, а затем исходные уравнения (2.8).

2. Кинематическая проверка.

Она заключается в построении действительной (упрощённой) схемы перемещений т. D, принадлежащей одновременно всем трём стержням системы. После мысленного разъединения стержней, их деформирования на величину ∆l_i и поворота относительно шарниров А, В, С на некоторые малые углы γ_i концы стержней должны соединиться в одной точке (т. D₁).

Вычисляем абсолютные деформации стержней:

мм – удлинение;

мм – укорочение;

мм – укорочение.

Выбираем произвольно т. D и из неё проводим лучи по направлению трёх стержней, т.е. под углами β₁, β₂, β₃ к горизонтали (оси Х). От концов стержней (с учётом неточности изготовления) откладываем в масштабе М 10:1 (можно М 5:1) отрезки ∆l_i с учетом их знаков и восстанавливаем перпендикуляры до их взаимного пересечения (рис. 2.6).

Абсолютная ошибка ∆_∆l пропорциональна наибольшей стороне треугольника невязки В рассматриваемом примере ∆_∆l= = = 2,5 мм. Относительную погрешность находим по сравнению с наибольшим значением деформации с учётом масштаба по рис. 2.6 (∆l)_max= |∆l₃|= =112 мм

≃ – допустимая величина.

Если ошибка превышает допустимую величину, то необходимо проверить построения (рис. 2.6), а затем преобразования уравнения (2.10) в уравнение (2.11).

Рис. 2.6. Кинематическая проверка. Построение схемы перемещений

3. Физическая проверка.

Обозначим через угол, образованный вектором полного действительного перемещения узла и вектором сосредоточенной силы . Так как в процессе деформирования системы сила F играет активную роль, а перемещение f – пассивную роль, то угол φ должен находиться в пределах . В рассматриваемом примере это условие выполняется: φ ≃ 45⁰.

При неправильном решении задачи угол получится в пределах . В этом случае необходимо проверить построения (рис. 2.6), а также физическую сторону задачи (п. 2.3.5) и синтез (п. 2.3.6).

4. Прочностная проверка.

Вычисляем действительные напряжения в стержнях σ_i и сравниваем их с допускаемыми или :

МПа ≃ ;

МПа > ;

МПа > _.

Мы видим, что условия прочности выполняются, при этом одно из действительных напряжений получилось равным допускаемому, а остальные по модулю меньше допускаемых. Если условия не выполняются, то необходимо проверить подбор параметра площади А и вычисление площадей сечений А_i (п. 2.3.7).

Так как в рассматриваемом примере все проверки выполняются, то с большой вероятностью можно считать, что задача решена правильно и окончательно можно принять следующие площади стержней:

А₁ = 3258 мм²; А₂ = 4887 мм²; А₃ = 1629 мм².