5.3.6. Рассмотрение единичных состояний основной системы
Переобозначаем
дополнительные реакции, соответствующие
отброшенным связям
;
.
Первое единичное состояние получаем,
загружая основную систему единичной
силой
(рис. 5.5, д).
Обозначаем основные реакции
,
,
,
и для их определения обращаемся к
уравнениям (5.10) – (5.13). Производим замену
переменных и учитываем, что
,
и все внешние нагрузки отсутствуют, т.
е.
.
В результате получаем систему уравнений
и её решение
Проверяем выполнение уравнения (5.14):
;
;
.
Далее, по аналогии с грузовым состоянием составляем и исследуем выражения “единичных” изгибающих моментов (рис. 5.5, д).
I
грузовой участок
– наклонная прямая
(0; 0,(6)) – сжатие волокон слева.
II
грузовой участок
– наклонная прямая
(0,(6); –0,(6)) – сжатие волокон сверху
переходит в сжатие волокон снизу.
III грузовой участок
– наклонная прямая
(0; –1,(3)) – истинное сжатие волокон снизу
(реакция
отрицательна и, следовательно, действует
вниз).
IV грузовой участок
– наклонная прямая
(0; – 0,(3)) – истинное сжатие волокон
справа.
V
грузовой участок
–наклонная прямая
(1,0; 0,(6)) – сжатие волокон слева.
По полученным
данным строим со стороны сжатых волокон
I
“единичную” эпюру изгибающих моментов
(рис. 5.5, е).
Проверяем равновесие узлов рамы
(рис. 5.7):
|
|
|
;
. |
; ; . |
;
. |
;
;
Рис. 5.7. Статическая
проверка эпюры
Второе единичное
состояние получаем, загружая основную
систему единичной силой
(рис. 5.5,ж).
Используя уравнения (5.10) – (5.13) и учитывая,
что
;
и
,
получаем систему и её решение
Проверяем выполнение уравнения (5.14):
;
;
.
Составляем и исследуем выражения “единичных” изгибающих моментов по всем грузовым участкам (рис. 5.5, ж).
I
грузовой участок
– наклонная прямая
(0;– 0,(6)) – сжатие волокон справа.
II
грузовой участок
– наклонная прямая
(–0,(6); 0,(6)) – сжатие волокон снизу
переходит в сжатие волокон сверху.
III грузовой участок
– наклонная прямая
(0; –0,(6)) – истинное сжатие волокон снизу.
IV
грузовой участок
– наклонная прямая
(0; – 1,(6)) – истинное сжатие волокон
справа.
V
грузовой участок
–наклонная прямая
(–1; – 0,(6)) – сжатие волокон справа.
По полученным данным строим II “единичную” эпюру изгибающих моментов со стороны сжатых волокон (рис. 5.5, з). Проверяем равновесие узлов рамы:
-
;
;.
;
;
.
;
;.
Рис. 5.8. Статическая проверка эпюры
5.3.7. Вычисление коэффициентов канонических уравнений метода сил
Система уравнений
(5.3) для случая
принимает вид
Податливости
и перемещения от нагрузки
находим по формулам (5.4) – (5.6). Так как
изгибные жёсткости всех стержней рамы
одинаковы, принимаем для простоты
:
;
;
;
;
.
Проверяем
правильность вычисления коэффициентов.
С этой целью строим суммарную “единичную”
эпюру
,
складывая алгебраически значения
моментов в характерных точках (если
ординаты
и
по одну сторону от оси, то складываем
их, а если по разные стороны, то вычитаем
их и разность откладываем со стороны
большей ординаты) (рис. 5.5, л).
Умножаем полученную эпюру саму на себя,
а также на грузовую эпюру изгибающих
моментов
.
Находим
;
.
Проверяем выполнение
тождеств
и
:
≃
.
Относительная
погрешность
% – высокая точность вычислений.
;
.
5.3.8. Решение системы канонических уравнений
Подставляем
найденные коэффициенты в уравнения
(5.3) и решаем полученную систему
относительно дополнительных неизвестных
и
:
Проверяем правильность решения путём обратной подстановки в систему
≃0;
≃0.
5.3.9. Вычисление опорных реакций для заданной схемы
Используя принцип суперпозиции, находим по формуле (5.7):
;
;
;
;
;
.
Проверяем
правильность реакций путём подстановки
в уравнение (5.14):
;
≃60.
5.3.10. Построение эпюры изгибающих моментов
для заданной схемы рамы
Вначале строим исправленные эпюры моментов для основной системы путём преобразования “единичных” эпюр
;
,
т. е. все характерные
ординаты эпюры
умножаем на значение
и откладываем по другую сторону от оси,
так как значение
отрицательно. Аналогично поступаем с
эпюрой
.
Исправленные эпюры показаны на рис.
5.5, и
и 5.5, к.
Окончательную эпюру изгибающих моментов в заданной системе получаем, используя формулу (5.8):
.
Сложение по
характерным точкам производим аналогично
построению суммарной “единичной”
эпюры
.
Результирующая эпюра
показана на рис. 5.5,
л.