2.3. Пример расчёта и методические указания
2.3.1. Подготовка исходных данных и расчётной схемы
Решение задачи начинаем с выбора исходных данных из табл. 2.1 и 2.2 согласно шифру. Рассмотрим следующие параметры:
Координаты узлов, мм: xА = 1568; yА = 15806; xВ = 4989; yВ = 17050;
xС = 18409; yС = 21935; xD = 8409; yD = 7654.
Коэффициенты: v1 = 2; v2 = 3; v3 = 1.
Силовое воздействие: F = 400 кН; βF=20о.
Монтажное воздействие: δ1 = –2 мм.
Температурное воздействие: ∆t3 = –20оС.
Откладываем в масштабе М 1:100 координаты x, y узлов А, В, С, D в произвольно выбранной системе координат ХОУ и соединяем узел D с узлами А, В и С, в результате чего получаем трёхстержневую четырёхшарнирную конструкцию (рис. 2.2). К общему узлу D прикладываем внешнюю силу F под углом βF к горизонтальной оси Х. Показываем в масштабе М 10:1 неточность изготовления одного из стержней с учётом знака δ. При положительном δ стержень изображаем длиннее проектного, а при отрицательном δ – короче. Для рассматриваемого примера расчётная схема показана на рис. 2.3.
2.3.2. Определение геометрических параметров
Длины стержней вычисляем по известным координатам узлов системы
Рис. 2.3. Расчётная схема статически неопределимой системы
Наименьшие углы (≤ 90о) между осью Х и направлениями стержней находим по формулам аналитической геометрии:
Наименьшие углы (≤ 90о) между средним стержнем № 2 и крайними стержнями № 1 и № 3 находим по рис. 2.3:
α1 = β2 – β1 =69,999 – 9,998 = 20,001о;
α3 = 180о – β2 – β3 =180 – 69,999 – 54,999 = 55,002о.
Аналогично
определяем наименьший угол (≤ 90о)
между осью Х
и направлением силы F.
В данном примере
о.
Найденные геометрические параметры
рекомендуется проверить путём измерений
линейкой (с учётом масштаба) и транспортиром.
2.3.3. Анализ. Статическая сторона задачи
Под действием активной силы F, неточности изготовления стержней δ и температурных воздействий ∆t в опорных закреплениях ( связях) А, В и С возникают реактивные силы. Так как стержни соединены шарнирно, то реакции R1, R2 и R3 будут действовать вдоль прямых АD, BD и CD. Направление реакций (от стержня или к стержню) выбираем произвольно (рис. 2.3).
Составляем необходимые и достаточные уравнения равновесия сходящейся системы сил (2.2):
После подстановки
данных
,
(см. п. 2.3.2), F = 400000
Н,
= cos20o
= 0,93969;
= sin 20o
= 0,34202 и упрощения получаем
-
0,64283R1 + 0,34202R2 + 0,57359R3 = 375876;
0,76602R1 + 0,93969R2 – 0,81915R3 = 136808.
(2.8)
Система двух уравнений (2.8) с тремя неизвестными R1, R2, R3 имеет несчётное множество решений, удовлетворяющих условиям равновесия. Однако с физических позиций очевидно, что любая устойчивая конструкция должна при данном нагружении иметь единственно возможное равновесное состояние, которому будут соответствовать вполне определённые реакции. Ниже будет получено третье уравнение, которое позволит однозначно решить поставленную задачу.
Записываем выражения для продольных сил, возникающих во всех стержнях, используя метод сечений и рассматривая равновесие тех отсечённых частей конструкции, на которых расположено меньше внешних сил (рис. 2.4)
-
;
;
.
;
;
.
;
;
.
Рис 2.4. Определение внутренних усилий в стержнях
Мы видим, что продольные силы Ni линейно зависят от опорных реакций Ri и поэтому не добавляют лишних неизвестных. Следовательно, степень статической неопределимости рассматриваемой задачи согласно (2.1) равна единице:
n = R – U = 3 – 2 = 1.