3.3.7. Анализ экономичности различных видов сечений

Подобранные выше восемь видов сечений удовлетворяют условию прочности, имея при этом значительно отличающиеся друг от друга площади и, следовательно, обеспечивая различную степень экономичности балок по массе. Сравнивая площади сечений, замечаем, что их можно расположить в ряд по возрастающей, начиная от двутавра как наиболее “легкой” фигуры и заканчивая кругом как наиболее “тяжёлой” фигурой. Для наглядности изображаем ряд экономичности в виде табл. 3.3, в первой графе которой вычерчиваем все фигуры в масштабе М 1:5, располагая их по степени возрастания металлоёмкости (площади). Здесь же показываем характерные размеры и главные центральные оси. Во вторую графу заносим площади сечений , не забывая удвоить значения для швеллера и уголка (парные составные сечения). В третью графу вписываем отношения площадей фигур к площади двутавра и в четвёртую графу – относительные экономичности в %, вычисленные по формуле

.

Таблица 3.3

Ряд экономичности сечений

Тип сечения М1:5
,	53,8	70,4		135,5			163,5
	1	1,31		2,52			3,04
, %	0	31		152			204
Тип сечения М1:5
,	175,4		205,3		237,2	263,0
	3,26		3,82		4,41	4,89
, %	226		282		341	389

4. Расчёт балок методом начальных параметров

Метод начальных параметров (МНП) является одним из основных при исследовании напряжённо-деформированного состояния стержневых конструкций, работающих преимущественно на изгиб. Весьма удачным приложением этого метода можно считать его использование при расчёте на прочность и жёсткость статически неопределимых балок, несущих различные виды внешних нагрузок. Метод начальных параметров настолько формализован, что позволяет легко вычислять внутренние усилия и перемещения в любом сечении балки путём подстановки значений нагрузок в канонические выражения, вид которых не зависит от числа грузовых участков.

Согласно МНП для балок, нагруженных парами сил, сосредоточенными силами и распределёнными нагрузками, изменяющимися по линейному закону, выражения для поперечной силы , изгибающего момента и прогиба имеют следующий вид:

;

; (4.1)

,

где – прогиб в начале балки; – угол поворота в начале балки; – абсцисса сечения, в котором определяются значения функций , и ; – расстояние от начала балки до k-й границы; – внешний момент на k-й границе; – внешняя сила на k-й границе; – скачок распределённой нагрузки на k-й границе; – скачок тангенса угла наклона распределённой нагрузки на k-й границе; i – номер сечения (участка) балки; k – номер границы между грузовыми участками; – изгибная жёсткость.

Разрывы функции I и II рода для распределённой нагрузки на k-й границе определяются по формулам

; ; ; , (4.2)

где и – интенсивность нагрузки бесконечно близко справа и бесконечно близко слева от границы.

В МНП начало координат (0-я граница) всегда располагается на левом конце балки, а положительными нагрузками считаются следующие: пары сил – по часовой стрелке; силы и распределённые нагрузки – направленные вверх (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Положительные направления нагрузок в МНП

Независимо от способа опирания балки из четырёх начальных параметров , , , два всегда известны, а два других параметра неизвестны. Для их вычисления используются конечные статические и (или) кинематические условия, зависящие от способа опирания балки. Например, в глухой заделке известны прогиб и угол поворота, но неизвестны поперечная сила и изгибающий момент; в шарнирной опоре известны прогиб и изгибающий момент, но неизвестны угол поворота и поперечная сила; на свободном крае балки известны поперечная сила и изгибающий момент, но неизвестны прогиб и угол поворота.

При расчёте статически неопределимых балок особых трудностей не возникает, так как для каждой “лишней” связи можно составить дополнительное уравнение, выражающее отсутствие перемещения по направлению наложенной связи. Раскрытие статической неопределимости сводится к совместному решению уравнений, получаемых на основе выражений (4.1) с учетом изложенных выше соображений.