Сечений стержней

Прочность, жёсткость и устойчивость деталей машин и элементов инженерных сооружений зависит в основном от внешних нагрузок, вида материала и размеров деталей и элементов, называемых в сопротивлении материалов стержнями. Условие прочности стержня можно записать в следующем виде:

,

где – функция прочности; – обобщённый параметр внешних нагрузок; – обобщённый параметр формы и размеров стержня; – обобщённый параметр упругих и механических характеристик материала.

Параметр при расчётах распадается на два независимых подпараметра

,

где – параметр длины стержня; – параметр формы и размеров поперечного сечения стержня.

Влияние формы и размеров поперечного сечения на прочность, жёсткость и устойчивость обладает большой нелинейностью и выражается в виде особых геометрических характеристик. На рис. 1.1 показано поперечное сечение стержня, отнесенное первоначально к вспомогательной произвольно выбранной системе координат XOY.

Вводятся следующие понятия, связанные с геометрией сечения:

; – статические моменты площади;

; – осевые моменты инерции;

– центробежный момент инерции;

– полярный момент инерции,

где А и dA – площадь и дифференциал площади поперечного сечения;

x, y, ρ – координаты дифференциала площади.

В сопротивлении материалов все расчётные формулы получены с использованием главных центральных осей инерции U и V, положение которых определяется следующим образом. Вычисляются координаты центра тяжести сечения во вспомогательной системе координат XOY (рис. 1.1):

.

Рис. 1.1. Поперечное сечение стержня

Находятся моменты инерции относительно центральных осей X_C , Y_C , параллельных исходным осям X, Y (рис. 1.1):

; ; .

Определяется значение угла между центральной осью X_С и главной осью U (осью Y_С и осью V), (рис. 1.1),

.

(1.1)

Вычисляются значения главных осевых и центробежного моментов инерции сечения

;

; (1.2)

.

Для простых фигур (прямоугольника, треугольника, круга и т.д.) и широко используемых в практике составных фигур (двутавров, швеллеров, уголков и т.д.) все геометрические характеристики вычислены и представлены в справочниках в виде формул или таблиц сортамента (приложение). Проектируемые детали машин и элементы инженерных сооружений имеют разнообразные профили, которые можно разбить на составляющие с известными геометрическими характеристиками относительно их собственных центральных осей. В этом случае используются формулы для координат центра тяжести и моментов инерции составных фигур

^(1.3)

; ; , (1.4)

где , – координаты центра тяжести i-й простой фигуры в любой вспомогательной системе координат; A_i – площадь i-й простой фигуры; J_XCi, J_YCi, J_XYCi – моменты инерции i-й простой фигуры относительно собственных центральных осей, параллельных осям вспомогательной системы; ; – координаты центра тяжести i-й простой фигуры относительно центральных осей X_C , Y_C всего поперечного сечения. Отметим, что в качестве “простой” фигуры может рассматриваться любая фигура, если у неё известно положение центра тяжести, площадь и значения моментов инерции.

Рассмотрим кратко основные свойства геометрических характеристик.

Единицы измерений: [x, y, x_C, y_C, a, b] = 1 м (1 см; 1 мм);

[A]=1 м² (1 см²; 1 мм²); [S_X, S_Y] = 1 м³ (1 см³; 1 мм³);

[J_X, J_Y, J_XY, J_P] = 1 м⁴ (1 см⁴; 1 мм⁴).

Знаки: площадь А, осевые J_X, J_Y и полярный J_P моменты инерции могут быть только положительными. Координаты х, у, х_C, у_C, а, b, статические моменты площади S_X, S_Y и центробежный момент инерции J_XY могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.

Статические моменты площади S_XC, S_YC относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения, всегда равны нулю – основное свойство центральных осей.

Центробежный момент инерции J_UV относительно главных осей всегда равен нулю – основное свойства главных осей.

Относительно главных осей моменты инерции J_U, J_V экстремальны, т.е. один из них принимает максимальное значение, а другой минимальное – определение понятия “главные оси инерции”.

При повороте осей координат на любой угол сумма осевых моментов инерции не изменяется, т.е. J_X + J_Y = const – условие стационарности (инвариантности).