6.3.2. Вычисление координат приведенного центра тяжести сечения

Так как мы имеем случай кусочно-постоянных модулей упругости составного стержня, для вычислений координат центра тяжести сечения воспользуемся формулами (6.5). Введём в расчёт редукционные коэффициенты, приняв за основу стальной стержень, обозначенный на рис. 6.4 цифрой 1,

; .

Выбираем произвольным образом правовинтовую вспомогательную систему координат XOY и находим координаты центров тяжестей “простых” фигур (рис. 6.4):

;

;

x_0, ≃6,70 ;

d =9,6 .

Вычисляем редуцированные площади и статические моменты площади:

;

;

.

Находим координаты центра тяжести всей фигуры:

; .

Откладываем в выбранном масштабе отрезки , и проводим центральные оси , , на пересечении которых получаем т. С, являющуюся приведенным центром тяжести всего сечения. Проверяем свойство центральных осей: статические моменты площади должны равняться нулю. Находим расстояние между центральными осями всей фигуры и каждой “простой” фигуры по формулам ; :

; ;

; .

Вычисляем центральные редуцированные статические моменты

;

;

%.

Выполнение рассмотренной проверки не гарантирует правильность нахождение центра тяжести. Для дополнительного визуального контроля необходимо убедится в расположении т. С на прямой , соединяющей центры тяжести фигур. Отклонение от прямой может быть вызвано неправильным определением координат , , нарушением масштаба и другими причинами.

6.3.3. Определение моментов инерции относительно центральных осей поперечного сечения

Находим моменты инерции составляющих фигур относительно собственных центральных осей , . Сравнивая взаимное расположение фигур и их центральных осей на рис. 6.3 и 6.4, замечаем, что

; ; ;

J_X, =100,53 ; J_Y, =28,10 ; J_XY, =0.

Необходимо проявить внимание при сравнительном анализе и определении знака центробежного момента инерции уголка, так как от этого зависит правильность дальнейшего решения заданчи.

Вычисляем моменты инерции “простых” фигур относительно центральных осей всего сечения , . Используем формулы параллельного переноса:

;

;

;

;

;

.

Определяем редуцированные моменты инерции всего сечения относительно центральных осей , :

;

;

.

6.3.4. Нахождение положения приведенных главных центральных осей инерции и вычисление главных моментов инерции

Положение осей U и V находим по формуле (6.6):

°.

Поворачиваем центральную систему координат , по ходу часовой стрелки (с учётом знака) на угол ≃43,5°, в результате чего получаем главные оси U и V. Вычисляем значения тригонометрических функций угла °:

; ; ;

; ; ;

– контроль.

Находим моменты инерции относительно главных осей:

;

;

.

Проверяем правильность вычислений. Свойство стационарности (инвариантности) суммы осевых моментов инерции при повороте осей

; – тождество выполняется.

Свойство экстремальности главных моментов инерции

– выполняется;

– выполняется.

Основное свойство главных осей . Согласно выполненным вычислениям тождество выполняется с точностью до сотых.