2.3.4. Анализ. Геометрическая сторона задачи

Чтобы получить недостающее уравнение, рассмотрим условие совместности деформаций стержневой системы. В результате внешних воздействий (F, δ, ∆t) элементы конструкции деформируются, т.е. стержни удлиняются или укорачиваются, вследствие чего узел D переместится и займёт некоторое новое положение D₁ (рис. 2.3). Показываем абсолютные деформации ∆l_i, опуская перпендикуляры из т. D₁ на исходные направления стержней, и устанавливаем зависимость (2.3) между полученными отрезками на основе элементарной геометрии.

Разлагаем полное перемещение DD₁ на две взаимно перпендикулярные составляющие: вдоль среднего стержня № 2 и перпендикулярно среднему стержню. Проецируем ломаную последовательно на направления всех стержней. Из рассмотрения рис. 2.3 замечаем, что

; (2.9 а)

; (2.9 б)

. (2.9 в)

Здесь через и обозначены проекции и на направление i-го стержня. Умножая (2.9 а) на , a (2.9 в) на и почленно вычитая, получаем с учетом (2.9 б)

или .

Подставляя значения углов , (п. 2.3.2) и неточность изготовления δ₁, получаем недостающее уравнение, связывающее абсолютные деформации трёх стержней,

0,81917∆l₁ – 0,96594∆l₂ – 0,34204∆l₃ = 1,63834. (2.10)

Рекомендуется проверить уравнение (2.10) путём измерений ∆l_i по чертежу (с учётом масштаба для деформации М 10:1) с последующей подстановкой в уравнение. Для примера получаем

∆l₁ = 5,5 см; ∆l₂ = 2,3 см; ∆l₃ = 2,0 см;

0,81917∙5,5 – 0,96594∙2,3 – 0,34204∙2,0 = 1,59969 ≃ 1,63834.

Уравнение (2.10) выполняется с небольшой относительной погрешностью ⋍2,4 %, что вполне допустимо при измерениях отрезков линейкой. Если погрешность превышает 3 % необходимо найти и исправить ошибки при составлении уравнения (2.10).

2.3.5. Анализ. Физическая сторона задачи

Английский учёный Роберт Гук опытным путём установил закон, носящий его имя: каково удлинение – такова сила. На основе этого закона выражаем абсолютные деформации стержней ∆l_i через параметры, характеризующие работу стержня. Согласно формуле (2.4) получаем для первого стального стержня: – стержень удлинился (рис. 2.3); N₁= R₁(п. 2.3.3); l₁ = 10642 мм (п. 2.3.2); E₁ = 2∙10⁵ MПa (табл. 2.3); (п. 2.3.1); = 1,25∙10^–51/^oС (табл. 2.3); ∆t₁= 0^oС (п. 2.3.1). Аналогично выписываются параметры для других стержней.

После подстановки получаем следующие зависимости:

или, умножая на (–1), ∆l₃ = 0,17434 +5,75322.

Мы видим, что деформации стержней ∆l_i зависят от соответствующих реакций R_i и общего (неизвестного) параметра площади А.

2.3.6. Синтез. Совместное решение полученных уравнений

Подставляем полученные выше физические зависимости в уравнение совместности деформаций (2.10):

Упрощая и умножая почленно на 10А, получаем уравнение

0,21790R₁ – 0,26824R₂ – 0,59631R₃ = 36,0617A. (2.11)

Объединяем уравнения (2.8) и (2.11) в одну систему

Легко проверить, что определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, не равен нулю. Следовательно, система уравнений имеет единственное решение.

Представим неизвестные реакции в виде комбинации двух составляющих

где – зависит только от силы F; – зависит от неточности изготовления стержней δ и изменения температуры после сборки ∆t.

Решим последовательно две системы уравнений:

Н; Н; Н.

МПа; МПа; МПа.

Складывая решения, получаем выражения для реакций

R₁ = 446333 + 46,0431А; R₂ = –54650 – 54,2939А; R₃ = 187680 – 19,2267А.

Рекомендуется проверить правильность решения путём обратной подстановки в исходную систему. В нашем случае

(1): 0,64283(446333 + 46,0431А) + 0,34202(–54650 – 54,2939А) + + 0,57359(187680–19,2267А) = 375876+0,00004А ≃ 375876;

(2):0,76602(446333 + 46,0431А) + 0,93969(–54650 – 54,2939А) –

– 0,81915(187680 – 19,2267А) = 136808+0,00005А ≃ 136808;

(3): 0,21790(446333 + 46,0431А) – 0,26824(–54650 – 54,2939А) –

– 0,59631(187680 – 19,2267А) = – 0,184 + 36,0617А ≃ 36,0617А.

Проверка показывает, что система уравнений решена правильно с весьма малыми погрешностями.