5.2. Графоаналитический метод

Если в методах, расмотреных выше, решение принималось на основе расчетов, то при применении графоаналитических методов для выбора управленческого решения используется изображение. Популярен метод, названный “Полигон альтернатив”. “Полигон” представляет собой наглядную диаграмму, построенную в полярных координатах. Оси, на которые наносятся значения критериев, направлены по радиусам от центра окружности к периферии. Число осей соответствует числу выбранных критериев.

На оси наносятся оценочные шкалы для каждого критерия. Предварительно определяют, где должны находиться наилучшие значения - ближе к центру или дальше от него. Это условие должно быть одинаковым для всех критериев.

Для каждой альтернативы на диаграмме отмечают ее оценки по каждому критерию. Полученные точки соединяют замкнутой ломанной линией - полигоном. На полярной диаграмме образуются в общем случае неправильные n - угольники, где n - число критериев.

Правило оценки этим методом гласит: если наилучшее значение критерия расположено дальше от центра, то оптимальному решению соответствует многоугольник, имеющий максимальную площадь, и наоборот.

5.3. Метод анализа иерархий

Вполне эффективным методом выбора на основе нескольких критериев является метод анализа иерархий (МАИ), разработанный Т. Саати.

Суть МАИ - декомпозиция проблемы на части (элементы), которые оцениваются в шкале МАИ в виде суждений ЛПР (экспертов). А затем, после обработки совокупности суждений методом матричной алгебры, формируются конечные оценки. При этом определяется относительная степень взаимного влияния в иерархии.

Цель, факторы показательного оценивания и альтернативы образуют иерархическую структуру (рис. 5.1.).

Рис. 5.1. Дерево целей МАИ: f1,f2,f3 - факторы (показатели), характеризующие альтернативы; 1,2,...n - множество альтернатив

Рассмотрение этой схемы (рис. 5.1.) позволяет сформулировать ряд положений, отражающих сущность метода «анализа иерархий».

1. Число уровней иерархии, описывающих конкретную прикладную задачу, может быть различно и зависит от специфики задачи. Каждый элемент верхнего уровня является «направляющим» для элементов нижнего уровня иерархии. Это означает, что важность (весовой коэффициент факторов описываемой альтернативы) рассматривается относительно цели выбора альтернатив. Поэтому при бинарном сравнении факторов каждый из них оценивается относительно поставленной цели выбора и соответственно определяет уровни взаимного предпочтения.

2. Попарные сравнения факторов осуществляются в терминах доминирования одного из элементов над другим. Эти суждения в шкале МАИ выражаются в целых числах. Если элемент А доминирует над элементом В, то клетка квадратичной матрицы, соответствующей строке А и столбцу В, заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке B и столбцу A, заполняется обратным к нему числом. Если A и B эквивалентны, то в обе позиции записывается 1.

3. Для получения каждой матрицы требуется n(n-1)/2 суждений, где n – число факторов, если сравнение проводится среди них, или n – число альтернатив, если они сравниваются по каждому фактору.

4. При бинарном сравнении альтернатив, в особенности при близких оценках их показателей, возможны случаи нарушения требований транзитивности или других ошибок в суждениях, поэтому МАИ предусматривает специальный механизм определения согласованности оценок.

Обработка результатов осуществляется на базе методов матричного анализа с использованием ряда специальных процедур оценки предпочтений ЛПР на основании шкалы МАИ (табл. 5.2.).

Таблица 5.2.

Шкала отношений МАИ

Степень важности	Определение	Пояснение
1	Одинаковая значимость	Два действия вносят одинаковый вклад в достижение цели
3	Некоторое преобладание значимости одного действия (показателя фактора) перед другим, слабая зависимость	Опыт и суждения дают легкое предпочтение одному действию перед другим
5	Существенная или сильная значимость	Опыт и суждения дают сильное предпочтение одному действию перед другим
7	Очень сильная или очевидная значимость	Предпочтение одного действия над другим очень сильно, его превосходство практически явно
9	Абсолютная значимость	Свидетельство в пользу предпочтения одного действия другому в высшей степени убедительно
2,4,6,8	Промежуточные значения между соседними значениями шкалы	Ситуация, когда необходимо компромиссное решение
Обратные величины приведенных чисел	Если действию i при сравнении с j присваивается одно из приведенных выше чисел, то действию j по сравнению с i присваивается обратное значение	Если над диагональю стоит целое число, то под диагональю его - обратное значение
Рациональное значение	Отношение, возникающее в заданной шкале	Если постулировать согласованность, то для получения матрицы требуется n- числовых значений

В общем случае, когда матрица М[n] содержит элементы согласованности суждений, указанные способы дают различные результаты векторов приоритетов. Расчет показателей согласованности выполняется следующим образом.

Определяется приближенная оценка главного собственного значения матрицы суждений. Для этого суммируется столбец суждений, а затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов, сумма второго столбца – на вторую компоненту и т.д. Затем полученные числа суммируются. Таким образом получаем _max, которая называется оценкой максимума или главного значения матрицы М. Это приближение используется для оценки согласованности суждений эксперта. Чем ближе _max к n, тем более согласованным является представление в матрице М[n] суждений. Отклонения от согласованности могут быть выражены величиной, которая называется индексом согласованности (ИС).

.

При оценивании величины порога несогласованности суждений для матриц размером от 1 до 15 методом имитационного моделирования получены оценки случайного индекса (СИ). СИ является индексом согласованности для сгенерированной случайным образом (по шкале от 1 до 9) положительной обратно симметричной матрицы. В табл. 5.3. приведены средние (модельные) значения СИ для матриц порядка n = 1÷15.

Таблица 5.3.

Индексы согласованности

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
СИ	0	0	0,58	0,9	1,12	1,24	1,32	1,41	1,45	1,49	1,51	1.48	1,56	1,57	1,59

Отношение ИС к среднему СИ для матрицы суждений того же порядка Саати называет отношением согласованности (ОС):

при n = const,

где n - количество элементов матрицы.

Значение ОС  0,10 считается приемлемым порогом допустимой согласованности суждений. Если значение ОС  0,10, данные в матрице суждений необходимо уточнить.

Обобщенные веса (или приоритетность объекта при их выборе) определяются суммой произведений локальных приоритетов каждого объекта по каждому критерию на значимость этого критерия.