10.3. Перераспределение инвестиций на основе трехсекторной модели

Рассмотрим трехсекторную модель регионального хозяйственного комплекса. Нулевой (материальный) сектор производит предметы труда; первый (фондосоздающий) – средства труда; второй (потребительский) – предметы потребления. Материальный сектор занимает промежуточную позицию между фондосоздающим и потребительским секторами: в определенном отношении его поведение сходно с поведением потребительского сектора, хотя по назначению он родственен фондосоздающему сектору. В этот сектор входят: добывающая промышленность, электроэнергетика, металлургия, промышленная химия и нефтехимия, производство сельхозпродукции, лесозаготовки, промышленность стройматериалов, грузовой транспорт, оптовая торговля средствами производства.

В фондосоздающий сектор входят: металлообработка и машиностроение (выделим такую подотрасль как машиностроение для сельского хозяйства), промышленное строительство; потребительский сектор: переработка сельхозпродукции (легкая и пищевая промышленность), деревообработка, бытовая химия, гражданское строительство, пассажирский транспорт, торговля предметами потребления.

Предположим, что за каждым сектором закреплены основные производственные фонды, в то время как труд и инвестиции могут свободно перемещаться между секторами. Производственные возможности каждого сектора заданы в форме линейно-однородных производственных функций:

X_j=F_j(K_j,L_j), j=0,1,2,

где X_j , K_j ,L_j , -соответственно выпуск, основные производственные фонды и число занятых в j-том секторе.

Модель включает следующие уравнения:

L=L(0)e^vt (число занятых)

L₀+L₁+L₂=L (распределение занятых по секторам)

dK_j/dt= -_j*K_j+I_j , K_j(0)=K_j0 , j=0,1,2 (динамика фондов по секторам);

X_j=F_j(K_j,L_j), j=0,1,2 (выпуск продукции по секторам);

X₁=I₀+I₁+I₂ ( распределение продукции фондосоздающего сектора);

X₀=a₀X₀+a₁X₁+a₂X₂ (распределение продукции материального сектора),

где I_j –инвестиции в j-тый сектор; v –темп прироста занятых; _j- коэффициенты выбытия основных производственных фондов по секторам; a_j –коэффициенты прямых материальных затрат по секторам.

На рис. 10.6. приведена схема трехсекторной модели в натурально-вещественной форме. В относительных показателях модель принимает следующую форму:

 ₀+₁+₂=1, _j0, j=0,1,2,

s₀+s₁+s₂=1, s_j0, j=0,1,2, (1)

dk_j/dt=(₁*s_j/_j)*f₁(k₁)-_j*k_j, k_j(0)=k_j0 , _j= v + _j, j=0,1,2,

(1-a₀)*₀*f₀(k₀)=a₁*₁*f₁(k₁)+ a₂*₂*f₂(k₂),

где _j=L_j/L –доля числа занятых в j-том секторе в общем числе занятых;

s_j-доля инвестиций в j-тый сектор в общем объеме инвестиций;

f_j(k_j)=X_j/L_j – производительность труда в j-том секторе.

Последнее уравнение системы (1) можно записать в следующей форме:

(1-a₀)x₀ = a₁x₁+a₂x₂ , где (2)

x_J=X_j/L - народнохозяйственная производительность j-того сектора, т.е. выпуск продукции j-того вида на одного занятого, при этом

x_j = _jf_j(k_j).

В системе (1) параметры a_0,a₁, a₂, ₀,₁,₂, v являются экзогенными и считаются постоянными. Параметры (,s)- управляющие. Уравнения фондовооруженности принимают следующий вид:

S1*f1(k₁⁰)= ₁*k₁⁰ , k_j⁰= (₁*s_j)/( _j*_j)*f(k₁⁰), j=0,2.

При k_j k_j⁰ , как видно из (1), dk_j/dt0, а при k_j k_j⁰ значения dk_j/dt 0, поэтому

lim k_j(t)= k_j⁰ (3)

Докажем, что путем регулируемого перераспределения труда и инвестиций можно обеспечить монотонный рост экономики по всем секторам. Допустим, что производственные функции секторов – это функции Кобба-Дугласа

F_j(K_j,L_j) =A_jK_j^L_j^1- , f_j(k_j)= A_j k_j^ ,

(для сокращения записи вместо A_j k_j^ иногда будем употреблять f_j(k_j)).

Базовые начальные условия- L(0),K₀(0), K₁(0), K₂(0), а начальная фондовооруженность k_j(0) –уже производная от базовых и зависит от того, как выбраны управляющие параметры в начальный момент t=0. Выберем их так, чтобы выполнялся материальный баланс и k_j(0)  k_j⁰, j=0,1,2.

Согласно (1) ,условия k_j (0)  k_j⁰ и dk_j (0) / dt0 эквивалентны, поэтому надо так выбрать (,s), чтобы dk_j (0) / dt0, т.е.

(₁*s_j)/_j*f₁[k₁(0)]- _j*k_j(0) 0, j=0,1,2, или

s_j(_j _jk_j(0))/ ₁f₁[k₁(0)]= _jK_j(0)/ A₁K_j^1(0)[ ₁L(0)]^1-, j=0,1,2. (4)

Это означает, что в начальный момент выпуск средств труда превышает объем поддерживающих капитальных вложений; при выполнении этих условий в сбалансированной по труду и инвестициям экономике наблюдается рост.

Варьируя переменными «труд» и «инвестиции», можно привести трехсекторную экономическую систему в сбалансированное стационарное состояние. С экономической точки зрения стационарное состояние- это состояние расширенного воспроизводства, когда инвестиции расходуются на замену выбывших средств труда и частично на такое расширение производственных фондов, которое обеспечивает сохранение фондовооруженностей на постоянном уровне, несмотря на рост занятых с постоянным темпом.

Если производственные функции секторов задаются в виде уравнений Кобба-Дугласа, то в сбалансированном состоянии при заданном распределении труда и инвестиций между секторами экономика характеризуется показателями, приведенными в табл.10.1

Таблица10.1

Показатели, характеризующие стационарное (сбалансированное) состояние экономики

Наименование сектора	Фондовооруженность	Производительность труда
Материальный	s01 k0= * A1k11 00	x0=0 A0k00
Фондосоздающий	s1A1 1 / (1- 1) k1= 1	x1=1 A1k11
Потребительский	S21 k2= * A1k11 22	x2=2 A2k22

Если в выражения для удельных выпусков в табл.10.1 подставить значения стационарной фондовооруженности из этой же таблицы, то удельные выпуски примут вид функций от параметров распределений труда (₀,₁,₂) и инвестиций (капитальных вложений) (s_0,s_1,s₂):

x₀=B₀ ₀^1-0 ₁^0 s₀^0s₁^{(1 0) / (1 - 1)} ,

x₁= B₁ ₁ s₁^{1 / (1 - 1)} , (5)

x₂= B₂ ₂^1-2 ₁^2 s₂^2s₁^{(1 2) / (1 - 1)} ,

где В₀=A₀A^{0/ (1 - 1)} ₀^{- 0} ₁^{(1 0) / (1 - 1)}

B₁= A₁^{1/ (1 - 1)} ₁ ^{1 / (1 - 1)}

B₂= A₂A₁^{2/ (1 - 1)} ₂^{- 2} ₁^{(1 2) / (1 - 1)}

Условия сбалансированности по труду, инвестициям и материалам, как и выше, записываются следующим образом:

₀+₁+₂=1, _j0 (труд)

s₀+s₁+s₂=1, s_j0 (инвестиции) (6)

(1-a₀)x₀ = a₁x₁+a₂x₂ (материалы)

Материальный баланс как уравнение связи между _0, _1, _2, s_0, s_1, s₂ принимает вид (7):

(1-₀)B₀ ₀^1-0 ₁^0 s₀^0s₁^{(1 0) / (1-1)} =

=₁B₁₁s₁^{1/(1-1)}+₂B₂₂^1-2 ₁^2s₂^2s₁^{(1 2)/(1-1)} (7)

Таким образом, любое сбалансированное стационарное состояние трехсекторной экономики – это некоторая точка (_0, _1, _2, s_0, s_1, s₂) в шестимерном пространстве, координаты которой удовлетворяют трем натуральным балансам.

Основным управляющим воздействием со стороны региональных органов власти должно быть регулирование трудовых и инвестиционных ресурсов. Так как главной целью субъекта управления является улучшение благосостояния населения региона, то при примерном постоянстве доли занятых в общей численности населения это означает необходимость максимизировать производство предметов потребления на одного занятого в материальном производстве.

Приняв во внимание это соображение, целевую задачу можно сформулировать следующим образом:

max ₁^2 ₂^1-2 s₁^{(1 2)/(1-1)} s₂^2 (8)

при условии, что компоненты (,s)= (_0, _1, _2, s_0, s_1, s₂) связаны соотношениями (6). Решение этой задачи и определит “золотое” правило распределения трудовых и инвестиционных ресурсов между секторами.

Задача (8) решается в два этапа:

1. находится максимум удельного потребления при фиксированных ₀ и s₀ , игнорируя при этом выполнение материального баланса;

2. варьируя ₀ и s₀, необходимо добиться выполнения баланса и вычислить искомый максимум.

Максимум функции (10) при условии ₁+₂=1-_0, s₁+s₂=1 - s₀ достигается для следующих значений управляющих параметров:

₁^*=₂(1-₀), ₂^*=(1-₂)(1--₀),

s₁^*=₁(1-s₀), s₂^*=(1-₁) (1-s₀) (9)

На втором этапе надо найти

max (1-₀) (1-s₀) ^{2/(1-1)} , 0₀ , s₀1 (10)

Решая уравнение материального баланса относительно _0, получим ₀(0)=1, ₀(1)=0, ^/₀(s₀) 0 поэтому удельное потребление x₂(s₀) достигает своего максимального значения в единственной точке s₀^*, определяемой из уравнения

[₂/(1-₂)][1-₀ (s₀)]=- ^/₀(s₀)(1- s₀) (11)

Таким образом , находим точку искомого максимума

₀^*=₀(s₀^*), ₁^* = ₂(1-^*₀), ₂^*=(1-₂)(1--^*₀),

s₀^*, s₁^*=₁(1-s₀^*), s₂^*=(1-₁) (1-s₀^*)