5.3. Базис.
Говорят, что три
линейно независимых вектора
и
образуют
в пространстве базис, если любой вектор
может
быть представлен в виде линейной
комбинации векторов
(*)
Принято называть (*) разложением вектора d по базису , а числа - координатами вектора относительно базиса . Причём можно доказать, что разложение по базису может быть единственным образом осуществлено.
Определим так называемые аффинные координаты. Аффинные координаты в пространстве определяются заданием базиса и некоторой точки О, называемой началом координат.
Частным случаем
аффинных координат являются, очевидно,
прямоугольные декартовы координаты,
Здесь введём три взаимно перпендикулярных
(ортогональных) единичных вектора
.
Для каждого вектора
найдётся
и при том единственная тройка чисел
,
такая, что
Числа X,Y,Z называют декартовыми прямоугольными координатами.
Введём определение
проекции вектора на ось v.
Дан вектор
.
Опустим перпендикуляры из точек А и В
на ось v.
Основания перпендикуляров обозначим
и
.
Проекцией вектора
на ось v
назовём длину направленного отрезка
оси v.
Углом наклона
вектора
к оси v
назовём угол
между направлением вектора
и направлением оси v.
Из рассмотрения треугольника АВС
следует, что
.
Можно доказать, что декартовы координаты X,Y,Z вектора являются проекциями вектора на оси отвечающие ортам (векторам единичной длины, указывающим направление):
-ось
Ох,
-ось
Oy ,
-
ось Oz.
Или можно записать:
(**)
Три числа
называются направляющими косинусами
вектора
.
Длина диагонали
параллелепипеда равна
Тогда можно записать:
Возведём в квадрат и складывая, получим равенство:
.
5.4. Скалярное произведение векторов.
Определение 1.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Будем обозначать
символами
Вспомним определение длины проекции вектора a на другой вектор b:
проекция
или проекция
Отсюда можно получить другое определение скалярного произведения:
Понятие скалярного произведения родилось в механике. Оно означает работу силы, равной вектору a на перемещении, равном вектору b.
Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен 90о.
Теорема. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.
Необходимость:
пусть
и
ортогональны. Т.е.
.
Достаточность:
пусть
.
Если
,
то остаётся
т.е.
.
Алгебраические свойства скалярного произведения:
1).
переместительное свойство.
2).
сочетательное относительно числового
множителя.
3).
распределительное относительно суммы
векторов.
4).
если
и
, если
.
Например,
доказательство свойства 2) следует из
равенства:
.
Эти четыре свойства позволяют при скалярном перемножении линейных комбинаций векторов выполнять действия почленно, не заботясь о порядке и сочетая числовые множители. Используем эти свойства практически. Найдём выражение скалярного произведения в декартовых координатах.
Теорема.
Если известны
координаты двух векторов
,
то их скалярное произведение вычисляется
по формуле:
.
Для доказательства составим скалярные произведения ортов:
.
Отсюда имеем:
.
Следствие 1.
Необходимое и достаточное условие
ортогональности двух векторов является
равенство
.
Следствие 2. Угол между двумя векторами есть:
.