12.1. Действия над линейными операторами.

Во множестве всех операторов, действующих из L₁ в L₂ можно определить операции суммы таких операторов и умножения на скаляр:

а) суммой двух операторов и назовем оператор ( + ), для которого при любом векторе x выполняется равенство:

( + ) х = х + х;

б) произведением оператора на скаляр  назовем оператор  , для которого ( ) х = ( х);

в) нулевым оператором 0 назовем оператор, который действует по правилу 0х = 0 для любого х;

г) для каждого оператора определим противоположный оператор - посредством соотношения - = (-1)  .

Множество всех линейных операторов М(L₁, L₂) с указанными выше операциями и с выбранными нулевым и противоположным оператором образует, очевидно, линейное пространство.

Рассмотрим свойства множества операторов М(L,L), т.е. операторов, действующих из L в L (пространство само в себя).

Назовем тождественным оператор , действующий по правилу х = х.

Введем понятие произведения линейных операторов из множества М(L, L) и по правилу: (  ) х = ( х ). Отметим, вообще говоря, что    .

Введя эти два определения, можно определить обратный оператор для данного оператора : если  =  = .

В этом случае оператор называется обратным оператору и обозначается ^-1.

Из определения оператора ^-1 следует, что для любого х  V выполняется соотношение ^-1 х = х.

Будем говорить, что линейный оператор действует взаимно однозначно, из L в L, если любым двум различным х₁ и х₂ отвечают различные х₁ и х₂.

Отметим без доказательства, что для того, чтобы линейный оператор из М(L, L) имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действовал взаимно однозначно из L в L.

Введем понятие ядра и образа линейного оператора.

Ядром линейного оператора называется множество всех тех элементов х пространства L, для которых х = 0.

Ядро обозначается символом ker . (привести пример – система линейных однородных уравнений).

Если ker = 0, то оператор действует взаимно однозначно из L в L. Действительно, в этом случае если х = 0, то х = 0. Пусть у₁ = х₁, у₂ = х₂. Если у₁ = у₂, то у₁ – у₂ = 0 = х₁ - х₂ = (х₁ – х₂)  х₁ – х₂ = 0.

Условие ker = 0 является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор имел обратный. Образом линейного оператора назовем множество всех элементов у пространства L, представляемых в виде у = х.

Образ обозначается символом im (отличается от Im, используемого для обозначения мнимой части z). Очевидно, что если ker = 0, то im = L и наоборот. Очевидно, что ядро и образ линейного оператора являются линейными подпространствами пространства L. Поэтому можно говорить о размерности dim (ker ) и dim (im ).

Запишем без доказательства следующую

Теорему:

Пусть размерность пространства L равна n и пусть - линейный оператор из M(L, L). Тогда dim (ker ) + dim (im ) = n.

12.2. Матрица линейного оператора.

Пусть задан линейный оператор , переводящий x  L₁ в y  L₂: .

Выберем в L₁ базис e₁ e₂ … e_n и в L₂ базис g₁ g₂ … g_m

.

Т.е. для задания оператора достаточно задать только образы базисных векторов, т.е. е₁, е₂, …, е_n.

Положим, что эти образы есть

Составим матрицу:

Тогда из вышесказанного следует:

или Y = A X.

Матрица А называется матрицей линейного оператора, k-й столбец этой матрицы составлен из координат вектора е_k в базисе g₁ g₂ … g_m.

Оказывается, что некоторые характеристики этой матрицы не зависят от базисов и характеризуют внутренние свойства оператора. Так отметим без доказательства, что ранг матрицы линейного оператора равен размерности пространства образов. Будем называть этот ранг – рангом линейного оператора. Если этот ранг совпадает с размерностью пространства L, или размерность пространства образов совпадает с размерностью пространства прообразов, то оператор назовем невырожденным.

Если множество образов и множество прообразов принадлежат одному и тому же пространству, то будем говорить о преобразовании пространства самого в себя, а оператор этого преобразования будем называть оператором линейного преобразования или линейным оператором. В дальнейшем мы будем рассматривать линейные операторы, и употреблять термин операторы.