5.2. Линейные операции с векторами.

Сложение. Суммой двух векторов называется вектор, направленный из начала вектора в конец вектора при условии, что начало приложено к концу вектора .

Геометрически это можно изобразить правилом треугольника:

Правило сложения векторов обладает теми же четырьмя свойствами, что и правило сложения вещественных чисел:

1. (переместительное свойство).

2. (сочетательное свойство).

3. Существует нулевой вектор, такой, что .

4. Для каждого существует противоположный вектор дл которого .

Эти свойства доказываются геометрическими построениями. К примеру, свойство 1:

Эти свойства позволяют оперировать с векторами также как и с вещественными числами.

О пределим разность векторов как сумму где - противоположный вектор вектору .

Определим операцию умножения вектора на вещественное число.

Произведением называется вектор , коллинеарный , имеющий длину и направление, совпадающее с если , и противоположное если .

Геометрический смысл умножения - вектор растягивается в раз.

Операция умножения обладает тремя свойствами:

5. (распределительное свойство относительно суммы векторов).

6. (распределительное свойство относительно суммы чисел).

7. (сочетательное свойство).

Доказываются эти свойства тоже графически.

Теорема 1. Если вектор коллинеарен вектору , то существует такое вещественное число , что .

Совместим начало вектора и начало вектора . В силу коллинеарности они окажутся на одной прямой.

Докажем, что . Т.е. что длины их равны, направления совпадают, и они коллинеарны.

Коллинеарность вытекает из определения произведения и коллинеарности и , равенство длин непосредственно из определения произведения и . Наконец, опять из определения произведения следует, что если , то направления совпадают, и если , то и -- противоположно направлены.

Определение 1. Линейной комбинацией n векторов мы называем сумму вида

,

где - вещественные числа.

Определение 2. Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие , хотя бы одно из которых отлично от нуля, что имеет место равенство:

Если все , то такие векторы называются линейно независимыми.

Докажем следующее утверждение.

Теорема 2. Если среди n векторов есть хотя бы один нулевой вектор, то эти векторы являются линейно зависимы. Доказательство: пусть для определённости . Тогда выполняется равенство:

где .

и по определению линейной зависимости эти векторы линейно зависимы.

Теорема 3. Если среди п векторов какие либо (п-1) линейно зависимы, то и все п являются линейно зависимы.

Действительно: линейная зависимость (п-1) векторов означает:

Добавим сюда равное 0 слагаемое и получим ,

где не все равны нулю, т.е. теорема доказана.

Теорема 4. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Доказательство необходимости: предположим, что и линейно зависимы. Т.е.

положим, что . Тогда или . По определению произведения и коллинеарны.

Достаточность: предположим, и коллинеарны. Если или равно нулю, то они линейно зависимы в силу теоремы 2. Если и то в силу теоремы 1 имеем:

, или .

Т. к. здесь заведомо (-1) не равно 0, то равенство доказывает линейную зависимость векторов и .

Следствие 1. Если векторы и неколлинеарны, то они линейно независимы.

Следствие 2. Среди двух линейно независимых векторов не может быть нулевых. (Иначе они были бы линейно зависимы).

Определение: векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

Теорема 5. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трёх векторов является их компланарность.

Необходимость: пусть три вектора линейно зависимы:

.

Тогда , или

Это равенство означает сложение двух векторов, т.е. все три вектора лежат в одной плоскости.

Достаточность: пусть компланарны. Исключим случай, когда пара векторов коллинеарна и когда какой-либо вектор равен 0. Эти случаи тривиальны. Рассмотрим случай, когда все они попарно неколлинеарны.

Представим все векторы направленными отрезками, лежащими в одной плоскости и отложенными их из одной точки. Из конца последнего вектора опустим проекции параллельно векторам и на продолжения векторов и , получим точки A и B.

В силу теоремы 1, найдутся такие и , что

или . Теорема доказана.

Следствие 3. Если векторы и неколлинеарны, то для любого , лежащего в одной плоскости с векторами и найдутся такие и , что выполнится равенство:

Наконец, установим линейную зависимость четырех пространственных векторов.

Теорема 6. Любые четыре геометрических вектора пространства линейно зависимы.

Доказательство. Исключим тривиальные случаи, когда один из векторов нулевой или когда какие-либо три из них компланарны. В этом случае по предыдущим теоремам будут линейно зависимы и все четыре вектора. Т.е. будем считать, что все векторы некомпланарны. Отложим их из одной точки и построим параллелепипед проекций:

По теореме 1 найдутся такие числа, что:

Но вектор равен или или .

Теорема доказана.

Попутно мы доказали, что если , какие-либо некомпланарные, т.е. линейно независимые векторы, то для любого вектора можно найти такие числа , что

.