10.2.3.Действия над векторами в координатной форме.

Если в линейном n – мерном пространстве заданы два вектора ; то на основании аксиом, которым удовлетворяют операции сложения и умножения, будем иметь:

Рассмотрим линейную комбинацию векторов:

, (*)

где

Если координаты вектора есть , то имеем систему уравнений:

(**)

Рассмотрим матрицу этой системы. Ее столбцы – координаты векторов x₁ x₂ … x_n. Если предположить, что в равенстве (*) вектор у равен 0, то мы будем иметь линейную зависимость векторов . Чтобы система (**) имела ненулевое решение ( когда y_i = 0, i = 1, … , n) ненулевое решение! – необходимо (из предыдущего материала) чтобы ранг матрицы был меньше числа неизвестных m. Или, с другой стороны, вектора линейно независимы, когда ранг матрицы (**) равен числу векторов.

Максимальное число линейно независимых векторов линейного пространства – есть размерность пространства – и это же число является рангом некоторой системы векторов (*) – базиса пространства.

Обратимся к примеру: найти размерность и базис пространства, являющегося линейной оболочкой векторов: x₁ = ( 0, 2, -1 ) x₂ = ( 3, 7, 1 ) x₃ = ( 2, 0, 3 ) x₄ = ( 5, 1, 8 ).

Вычислим ранг системы этих векторов:

Базисом могут служить три линейно независимых вектора. Например, это -- векторы x₁ x₃ x₄, поскольку x₂ – их линейная комбинация.

На основе вышесказанного можно сделать вывод: ранг системы векторов равен рангу матрицы составленной из координат этих векторов в некотором базисе.

10.2.4. Замена базиса.

Рассмотрим линейное преобразование координат некоторого вектора при смене базиса. Предположим, что мы имеем два базиса произвольного n – мерного пространства и . Определим координаты векторов одного базиса в другом базисе:

(*)

В матричном виде:

Т.о. матрица А – это матрица, связывающая новый базис е_i^’ со старым e_i. Она составлена из координат векторов в базисе , поставленных в строки.

Рассмотрим некоторый вектор

Подставим здесь вместо их выражения из (*):

Приравнивая здесь коэффициенты при одинаковых векторах , приходим к системе уравнений:

или в матричном виде

Матрица А^Т, транспонированная к А, называется матрицей перехода от одного базиса к другому. Столбцами этой матрицы являются координаты новых базисных векторов в старом базисе. Очевидно, обратный переход есть: x^’=(A ^–1)^Tx

Вывод: если переход от первого базиса ко второму осуществляется с помощью невырожденной матрицы А, то переход от координат произвольного элемента относительно первого базиса к координатам этого элемента относительно второго базиса осуществляется с помощью транспонированной обратной матрицы.

Пример: в пространстве V₃ имеем два базиса:

1. 

2. 

Найти координаты в базисе . Т.е. . Матрица перехода от базиса к базису есть:

Матрица S невырожденная, т.е. система векторов образует базис.

Имеем . Отсюда . Запишем без вычислений, что . Тогда .

Т.е.

В заключение рассмотрим пространства решений линейной однородной системы. Если решений множество, то известно, что сумма каких-либо решений тоже является решением и произведение каких-либо решений на число тоже является решением. Аксиомы 1⁰ – 8⁰ тоже выполняются. Т.е. множество решений линейной однородной системы образует линейное пространство. Выполняется

Теорема: размерность пространства решений линейной однородной системы уравнений с n неизвестными равна n-r, где r – ранг матрицы системы.

X = C_r+1X₁+ C_r+2X₂ + … + C_nX_n-r.

Это означает, что решения X₁ … X_n-r – линейно независимы и их можно принять за базис пространства решений. Любой базис пространства решений называется фундаментальной системой решений.