6.Аналитическая геометрия.

6.1. Уравнение линии на плоскости.

Предположим, что на некоторой плоскости  нам заданы 1) декартовая прямоугольная система координат Oху; 2) некоторая линия L. Если указано правило, по которому каждой точке М плоскости (или какой-либо части плоскости) сопоставляется некоторое число z, то говорят, что на плоскости (или ее части) задана функция двух переменных: z = f(x,y).

Рассмотрим некоторое уравнение:

Ф(x,y)=0 (*)

Определение: уравнение (*) называется неявным уравнением линии L, если ему удовлетворяют координаты х,у любой точки, лежащей на L, и не удовлетворяют координаты х,у ни одной точки, не лежащей на L. Саму линию L называют геометрическим местом точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (*).

Кроме этого, часто для аналитического представления линии удобно выражать координаты х,у через некоторый параметр t.

x=(t); y=(t)

К примеру, параметром t может быть время в задаче движения тела по траектории. Так, движение точки по окружности можно описать двумя уравнениями с параметрами:

x = r cos t

y = r sin t

Исключим t: x² + y² = r² (sin²t + cos² t)=r^2, Перенесем r² влево и получим неявное уравнение окружности: x² + y² -- r²=0.

Вид уравнения линии L зависит не только от вида самой линии, но и от выбора системы координат. Уравнение линии меняется при переходе от одной декартовой системы координат к другой, либо при переходе от декартовой системы координат к другой системе.

6.2.Полярная система координат.

В математике часто применяется эта система. Определяется она заданием: некоторой точки 0, называемой полюсом; луча 0А, исходящего из этой точки, называемого полярной осью и единицей масштаба на этой оси.

Полярными координатами точки М называются два числа:  = ОМ – расстояние от точки М до полюса и  - полярный угол. Угол, отсчитываемый против часовой стрелки, считается положительным. Он определен с точностью до оборота на угол кратный полному углу, на угол 2n. Точку М с полярными координатами  и  обозначают символом М(,). Для точки полюса  = 0, а полярный угол не определен. Для того, чтобы между точками плоскости, отличными от полюса и парами чисел (,) существовало взаимно однозначное соответствие, считают, что полярные координаты изменяются в следующих границах:

.

Полярные координаты легко преобразовать в декартовы координаты если направить ось Х вдоль полярной оси и совместить полюс с началом координат. Очевидно:

По этим формулам легко переходят от полярных координат к декартовым и наоборот. Так, уравнение окружности радиуса R в полярных координатах есть =R.

Например, пусть, линия в полярной системе координат имеет уравнение

Это - парабола.

6.3. Уравнение прямой на плоскости.

Линия называется алгебраической, если определяющая ее неявная функция Ф(х,у) представляет собой алгебраический полином, т.е сумму конечного числа одночленов – слагаемых вида a_lk x^l y^k .

Можно доказать, что если на плоскости определена декартова система координат Оху и задана произвольная прямая линия, то она определяется в этой системе координат уравнением первой степени. Иначе Ф(х,у)=Ах+Ву+С полином первой степени. Само доказательство мы опустим.

Докажем теперь обратное, если на плоскости  фиксирована произвольная декартова система координат Оху, то всякое уравнение первой степени с двумя переменными х,у определяет относительно этой системы некоторую прямую.

В самом деле, пусть задано уравнение

Ax + By + C = 0 (**)

В котором из чисел А, В, С хотя бы одно не ноль.

Уравнение (**) заведомо имеет хотя бы одно решение х₀ у₀ (вспомним теорему Кронеккера-Капелли) для него:

Ax₀ + By₀ + C=0 (***)

Вычитая из (**) уравнение (***), получим уравнение

A (x - x₀) + B (y - y₀)=0

Докажем, что это уравнение определяет прямую L, проходящую через точку х₀,у₀ и перпендикулярную вектору .

В самом деле, если точка М (х,у ) лежит на L, то ее координаты удовлетворяют уравнению (***), ибо в этом случае векторы и ММ₀ = ортогональны и их скалярное произведение

А(х - х₀) + В(у - у₀)

равно нулю. Если же точка М( х,у ) не лежит на указанной прямой, то векторы и ММ₀ не ортогональны и их скалярное произведение не равно нулю.

Уравнение

Ax + By + C = 0

называется общим уравнением прямой. Вектор

называется нормальным вектором прямой (**), он перпендикулярен направлению прямой.

Уравнение (**), где все А, В, С отличны от нуля, можно привести к виду (уравнение прямой в отрезках):

Действительно,

Числа а и b имеют простой геометрический смысл: это отрезки осей координат, которые отсекает прямая линия, удовлетворяющая этому уравнению.

Действительно, при х = 0 : , а при у = 0 : х = а.

Определим направляющий вектор прямой, как ненулевой вектор, параллельный данной прямой. Поставим задачу: найти уравнение прямой, проходящей через заданную точку М₁(х₁ ; у₁) и имеющей направляющий вектор .

Очевидно, что точка М(х ; у) лежит на указанной прямой, если векторы ММ₁ = и коллинеарные, т.е. их координаты пропорциональны:

(****)

Это уравнение и называют каноническим уравнением прямой линии.

Отсюда легко найти уравнение прямой, проходящей через две точки М₁(х_1,у₁) и М₂(х_2, у₂). Очевидно, направляющий вектор такой прямой есть

Получаем уравнение :

.

Из уравнения (****) можно получить параметрическое уравнение прямой. Действительно, из этого уравнения можно записать:

х - х₁ = l t ; y - y₁ = m t , или

Эту систему легко наглядно представить. Если считать t временем, то координаты х у есть координаты точки, двигающейся по линии с направляющим вектором и имеющей скорость .