8. Плоскость. Различные способы задания плоскости.

Аналогично выводу уравнения прямой нетрудно доказать, что если в пространстве задана произвольная плоскость и декартова система координат, то уравнение этой плоскости в такой системе является уравнением первой степени.

Мы докажем обратное утверждение:

Теорема. Если в пространстве определена декартова система координат Oxyz, то всякое уравнение первой степени с тремя переменными x, y, z определяет относительно этой системы плоскость.

Доказательство: рассмотрим произвольное уравнение первой степени:

A x + B y + C z + D = 0,

Где хотя бы одно из A, B или C отлично от 0. Тогда это уравнение имеет хотя бы одно решение, например, A x₀ + B y₀ + C z₀ + D = 0

Тогда вычитая одно уравнение из другого, получим эквивалентное уравнение:

A (x - x₀) + B (y - y₀) + C (z - z₀) = 0. (*)

Для доказательства нашего утверждения достаточно доказать, что уравнение (*) определяет плоскость, проходящую через точку M(x₀ y₀ z₀) и перпендикулярную вектору .

В самом деле, если точка M(x y z) лежит на указанной плоскости, то вектор ортогонален вектору и их скалярное произведение равно 0. Если же точка не лежит в указанной плоскости, то вектор не перпендикулярен и скалярное произведение не равно 0. Т.о. уравнение (*) (с произвольными коэффициентами A, B, C, D !) действительно определяет плоскость.

Уравнение A x + B y + C z + D = 0 называется общим уравнением плоскости, а вектор (A,B,C) -- нормальным вектором плоскости. Общее уравнение плоскости называется неполным, если какой-либо коэффициент может и не один, равен нулю. К примеру: уравнение

D = 0 : A x + B y + C z = 0

определяет плоскости, проходящей через начало координат. Уравнение

С = 0 : A x + B y + D = 0 – плоскости, параллельные оси Z, так как - . Также

A = 0 , B = 0 : C z = 0 – плоскости, параллельные XOY и т.д. Всего 10 вариантов.

Если уравнение полное, то его можно свести к уравнению плоскости в отрезках:

Понятно, что a, b, c – это отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат. Действительно, если y = z = 0, то x = a – определяет точку пересечения плоскости с OX.

Рассмотрим задачу определения величины угла пересечения двух плоскостей. Из определения скалярного произведения можно получить для угла между плоскостями, заданными общими уравнениями величину:

Условие параллельности:

Условие перпендикулярности:

Найдем уравнение плоскости, проходящей через три точки. Точка M(x,y,z) лежит на плоскости. Значит, компланарны следующие три вектора:

.

Уравнение плоскости получится из условия компланарности трех векторов, а именно: смешанное произведение трех компланарных векторов равно нулю:

.

Рассмотрим нормированное уравнение плоскости и отклонение точки от плоскости.

П оставим цель выразить уравнение плоскости через длину отрезка = р и направляющие косинусы единичного вектора . Очевидно, точка М лежит на нужной нам плоскости тогда и только тогда, когда или , но: и тогда уравнение искомой плоскости, очевидно будет: .

Также как и в случае уравнения линии, назовем отклонением точки М от плоскости ее расстояние до плоскости со знаком (-), если точка М и начало координат лежат в одной стороне от плоскости и со знаком (+), если по разные стороны. Тогда можно доказать, что для нахождения отклонения  точки М от плоскости необходимо в левую часть нормированного условия плоскости подставить на место x, y и z координаты x₀ y₀ z₀ точки М₀.

Как привести уравнение плоскости к нормированному виду? Поскольку

,

-- одна и та же плоскость, то, очевидно, найдется такое число t, что:

t A = cos  ; t B = cos ; t C = cos  ; t D = -p .

Из первых трех уравнений выводим: , отсюда расстояние плоскости от начала координат . Из четвертого равенства, поскольку p всегда положительно, следует что у t следует брать знак противоположный D.

Определение: совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую L, называется пучком плоскостей.

Выполняется следующее утверждение: если

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0

A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0

уравнения двух непараллельных плоскостей, пересекающихся по некоторой прямой L, а  и  - какие угодно, не равные нулю числа, то уравнение

 (A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ ) +  (A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ ) = 0

определяет плоскость, проходящую через прямую L. Если изменять параметры  и , то можно получить весь пучок плоскостей.

Уравнение связки поверхностей – т.е. поверхностей, проходящих через заданную точку, есть, очевидно: A (x – x₀) + B (y – x₀) + C (z– x₀) = 0.