7.3.Каноническое уравнение параболы.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой L. Точка F называется фокусом параболы, а фиксированная прямая L – директрисой параболы. Парабола является коническим сечением, в котором плоскость, пересекающая конус, параллельна одной из образующих конуса. В механике космического полета существует так называемая параболическая скорость. Иначе еще она называется второй космической скоростью. В солнечной системе тело, имеющее вторую космическую скорость, движется по параболе, а если скорость больше – то по гиперболе. При этом в фокусе параболы или гиперболы находится центр тяготения солнечной системы – Солнце.

Для вывода уравнения параболы выберем декартову систему координат в которой ось ординат параллельна директрисе и проходит посередине между директрисой и фокусом , а ось абцисс проходит через фокус параболы:

С огласно определению:

Э то и есть каноническое уравнение параболы. Параметр р называется параметром параболы. К примеру, парабола y = x²: p=1/2

Фокус – это точка F ( 0, 1/4), директриса y = - 1/4.

Оказывается, директрису можно определить и для эллипса и для параболы. Заметим, что для параболы директрису можно определить и так: отношение расстояний от точки параболы до фокуса и до директрисы есть величина постоянная, равная единице. Для эллипса и гиперболы можно также ввести прямую называемой тоже директрисой, для которой отношение расстояний от некоторой точки эллипса или гиперболы до фокуса и до прямой есть величина постоянная.

Для выяснения этого свойства введем определение: эксцентриситетом эллипса (гиперболы) называется величина е, равная e=c/a.

Если обратиться к уравнениям эллипса и гиперболы, то можно получить для е выражение:

- эллипс,

- гипербола.

Легко видеть, что:

e < 1 для эллипса

e = 1 для параболы

e > 1 для гиперболы.

З аметим, что величина эксцентриситета для эллипса характеризует его вытянутость, а для гиперболы – величину угла раствора ветвей гиперболы. Чем больше эксцентриситет гиперболы, тем больше угол раствора ветвей .

Определение: директрисой D₁ эллипса, отвечающей фокусу F₁ является прямая, расположенная в той же полуплоскости, что и фокус F₁, перпендикулярно большой оси эллипса на расстоянии от его центра.

У равнение директрисы D₁:

Уравнение директрисы D₂:

Теорема. Отношение расстояния r₁ от точки эллипса M(x,y) до фокуса F₁ к расстоянию d₁ от этой точки эллипса до директрисы D₁ есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса: .

Действительно:

Нормированное уравнение директрисы есть:

Расстояние d₁, очевидно есть (подставляем координаты точки М в нормированное уравнение):

.

Таким образом,

Теорема доказана.

О пределим директрису для гиперболы. Директрисой D₁ гиперболы отвечающей фокусу F₁ называется прямая расположенная в полуплоскости, где расположен фокус F₁, перпендикулярно действительной оси гиперболы на расстоянии от центра.

Аналогично эллипсу можно доказать теорему: отношение расстояния r₁ некоторой точки гиперболы до ее фокуса F₁ к расстоянию до директрисы d₁ равно .

Все невырожденные кривые второго порядка можно определить единообразно как геометрическое место точек М на плоскости, для которых отношение е расстояния r до точки F к расстоянию d до некоторой прямой D есть величина постоянная. При этом кривая является эллипсом если e < 1, параболой если e = 1, или гиперболой если е  1. Точка F называется фокусом, а прямая D – директрисой кривой.