6.3.3.Уравнение прямой линии в полярных координатах.

Из рисунка прямой линии в плоскости видно, что:

Отсюда . По формуле косинуса разности получаем

или .

7.Линии второго порядка.

Л инии второго порядка это эллипс, гипербола, парабола. Эти кривые представляют собой так называемые конические сечения. Это - сечения конуса плоскостью. В зависимости от того, как проходит плоскость получается либо эллипс, либо парабола, либо гипербола. Эти три кривые называются невырожденными кривыми второго порядка. Кроме того, может получиться пара прямых, одна прямая или точка. Такие кривые называют вырожденными. В механике кривые второго порядка определяют траектории движения тела в поле центрального тяготения. Так, материальная точка (спутник) со скоростью менее второй космической скорости движется в поле тяготения Земли по эллипсу. Если ее скорость равна второй космической, то по параболе, а если превысит вторую космическую – то по гиперболе.

Общее уравнение кривой второго порядка – это полином второй степени по совокупности переменных:

a₁₁ x² + 2 a₁₂ x y + a₂₂ y² + 2 a₁₃ x + 2 a₂₃ y + a₃₃ = 0.

В математике доказывается (мы этим займемся через несколько лекций), что путем преобразований координат – поворотов осей и параллельных переносов можно всегда данное уравнение привести к виду:

a₁₁ x² + a₂₂ y² = a₃₃ или y²= 2px

Эти уравнения кривой второго порядка легко приводятся к так называемому каноническому виду.

Оказывается, что этими тремя линиями ( эллипс, парабола, гипербола) исчерпываются все невырожденные кривые второго порядка.

Рассмотрим в отдельности каждую кривую.

7.1.Каноническое уравнение эллипса.

Э ллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная. Очевидно, при совпадении точек F₁ и F₂ эллипс представляет собой окружность. Эллипс получается, если плоскость пересекает все образующие одной полости конуса.

Выведем каноническое уравнение эллипса: выберем начало координат в середине отрезка F₁F₂. Обозначим длину отрезка F₁F₂=2с, а расстояние, о котором мы говорили в определении эллипса – через 2а. Заметим, что a>c. Из формулы расстояния между точками выводим равенства:

Отметим очевидное неравенство a>b.

Также можно было бы проделать следующие преобразования: умножим правую и левую части (*) на разность радикалов

, сложим снова с (*) и возведем в квадрат

Отсюда

В еличины a и b называются большой и малой полуосями соответственно.

7.2. Каноническое уравнение гиперболы.

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная. Гипербола получается, когда плоскость пересекает образующие обеих полостей конуса.

В ыберем опять оси координат и начало координат посередине отрезка F₁F₂. Расстояние F₁F₂ равно 2с. А разность расстояний обозначим через 2а.

Аналогично предыдущему выводу уравнения эллипса, имеем:

П реобразуем его, как и ранее, к виду:

Величины a и b называются действительной и мнимой полуосями гиперболы соответственно.

А симптоты гиперболы очевидно определяются уравнениями:

в которых 2а и 2в – действительная и мнимая оси гиперболы соответственно.