11.5.Ортогональные матрицы и их свойства.

Рассмотрим теперь, какими свойствами обладает матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому в евклидовом пространстве. Вспомним, что если , то . Матрицу А^Т мы называли матрицей перехода от одного базиса к другому. Столбцы этой матрицы представляют собой координаты векторов в базисе .

Введем сначала определение: матрица A с вещественными коэффициентами называется ортогональной, если А^Т = A^-1 – транспонированная матрица равна обратной. Т.е. AА^Т = А^Т A = E. Отсюда следует det (AА^Т) = det A  det А^Т = det E = 1 или det A= 1.

Обратная к ортогональной матрице T также ортогональна:

, или .

Запишем еще свойства ортогональной матрицы, вытекающие из того, что

, или:

,

или: , т.е. сумма квадратов элементов какой – либо строки (или столбца) ортогональной матрицы равна 1, а сумма произведений соответствующих элементов разных строк (столбцов) равна 0.

Предположим, имеем два ортонормированных базиса в евклидовом пространстве: и . Если , то координаты некоторого вектора Х в старом базисе х и новом х’ связаны соотношением: , где А^T – матрица перехода.

Теорема. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной.

Доказательство: Рассмотрим два вектора

Запишем матрицы – столбцы координат этих векторов:

Скалярное произведение этих двух векторов:

, или, в матричной записи:

(*)

Если матрица перехода от одного базиса к другому есть S, то:

X = S X₁ ; Y = S Y₁

Подставим в (*):

Отсюда легко вывести, что S^TS = E или S^T = S^-1. Т.е. матрица S – ортогональная.

К примеру, матрица, осуществляющая поворот осей координат в одной из предыдущих лекций – это матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому. Она является ортогональной.

detT = 1, T^-1 = T^` =

12.Линейные операторы.

Пусть L₁ и L₂ – линейные пространства над полем вещественных чисел, размерности которых соответственно n и m. Будем называть оператором , действующим из L₁ в L₂ отображение L₁  L₂, если задан закон, по которому каждому вектору x  L₁ ставится в соответствие единственный вектор y  L₂. При этом у называется образом х, а х – прообразом у для оператора . Обозначаем преобразование у = х. Оператор представляет собой в некотором смысле обобщение известного из анализа определения функции на случай, когда областью задания функции является произвольное линейное пространство L₁, а область значений принадлежит пространству L₂.

Оператор будем называть линейным, если для любых элементов х₁, х₂ пространства L₁ и любого вещественного числа  выполняются два условия:

1⁰ (х₁ + х₂) = х₁ + х₂ (свойство аддитивности оператора).

2⁰ ( х) =  х (свойство однородности оператора).

Если пространство образов L₂ совпадает с пространством прообразов L₁, то линейный оператор в этом случае отображает пространство само в себя. Такой оператор называют также линейным преобразованием пространства.