5.5. Векторное и смешанное произведения векторов.

Назовём три вектора упорядоченной тройкой, если указано, какой вектор считается первым, вторым и третьим. Так, запись означает, что

- правая тройка

Определим правую систему координат по правилу правой руки или по правилу буравчика.

Определение: аффинная система координат называется правой, если три базисных вектора образуют правую систему координат.

Определение векторного произведения: векторным произведением вектора на вектор называется вектор , обозначаемый и удовлетворяющий требованиям:

1. длина вектора равна: ;

2. вектор ортогонален каждому из и ;

3. направлен так, что -правая тройка.

Понятие векторного произведения родилось тоже в механике.

-момент М силы относительно точки О.

Теорема. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Необходимость вытекает из самого определения векторного произведения.

Достаточность. Пусть . Если и , то , т.е. в любом случае имеем коллинеарность.

Теорема. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах . Эта теорема непосредственно вытекает из формулы .

Рассмотрим смешанное произведение векторов.

Если вектор векторно умножается на вектор , затем получившийся вектор скалярно умножается на вектор , то в результате получается число , называемое смешанным произведением векторов .

Теорема. Смешанное произведение равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах и взятому со знаком плюс, если тройка - правая, и со знаком минус если тройка левая. Докажем для правой тройки:

.

Следствие 1. Справедливо равенство: . Доказанное равенство позволяет записывать смешанное произведение, не указывая при этом, какое произведение векторное, а какое скалярное. Обозначается смешанное произведение .

Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Следствие 3. Смешанное произведение трёх векторов, два из которых совпадают, равно нулю. В самом деле, такие векторы заведомо компланарны.

Алгебраические свойства векторного произведения:

1. - антиперестановочность сомножителей.

2. - сочетательное относительно числового множителя.

3. - распределительное относительно суммы векторов.

4. для любого .

Для доказательства свойства 1 (ограничимся доказательством только первого свойства) вспомним о правой и левой тройках векторов. Если считать, что образуют правую тройку, то очевидно левая тройка. Значит по определению векторного произведения, векторы коллинеарны, одинаковой длины и противоположно направлены, т.е. , что и доказывает первое свойство.

Эти четыре свойства позволяют оперировать при векторном перемножении сомножителями почленно, производить сочетание множителей, не меняя при этом порядок векторного умножения.

Выражение векторного произведения в декартовых координатах:

Если два вектора имеют координаты , то их векторное произведение можно найти, опираясь на свойства векторного произведения:

В итоге (*)

или - получаем разложение определителя по первой строке.

Следствие. Если два вектора коллинеарны, то координаты их пропорциональны. Действительно, векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю. Но из равенства (*) следует (поскольку ): .

Выражение смешанного произведения в декартовых координатах:

Смешанное произведение трёх векторов равняется определителю, строки которого составлены из координат соответствующих векторов.

Действительно, координаты определяются выражением:

,

а координаты скалярного произведения, вспомним, есть , или, в нашем случае,:

А это --- разложение определителя по третьей строке.

Следствие. необходимым и достаточным условием коллинеарности трёх векторов с координатами является равенство нулю определителя .