10.Линейные пространства.

10.1.Введение. Основные определения.

В дальнейшем мы будем говорить о множестве некоторых элементов произвольной природы, для которых определены некоторые операции, подчиняющиеся определенным ограничениям, называемым аксиомами.

Такие множества называются пространствами, а их элементы – точками или векторами. Однако подчеркнем, что «векторы» таких абстрактных пространств, как правило, ничего общего не имеют с векторами, изучаемыми в геометрии. Элементами пространства могут быть функции, матрицы, системы чисел и т.д., а в частном случае и обычные векторы.

В дальнейшем из всех пространств мы выделим для изучения так называемые линейные пространства, обладающие целым рядом общих свойств, которые и будут установлены далее.

Определение линейного пространства опирается на следующее понятие. Числовым полем К называется такое множество чисел , , , ... , для которого при любых  и  из множества К числа  + , ,  - ,  /  также принадлежат этому множеству. Т. е. это множество чисел должно быть замкнуто относительно арифметических операций. В частности, числовое поле всегда содержит единицу: 1= /, нуль: 0=  - , оно -- непустое множество.

Например, легко проверить, что множество чисел вида a + b2, где a и b любые рациональные числа образуют поле, а если a и b – целые числа, то поле не образуется. Действительно, рассмотрим, например, операцию  / :  = a + b2  = c + d2

отсюда видно, что если a, b, c, d – целые числа, то выражения - вовсе не целые!

Теперь, наконец, определим линейное пространство. Линейным или векторным пространством над числовым полем K называется множество R элементов, которые будем называть векторами и обозначать x; y; z, ... , если:

1). Указан закон, согласно которому любой паре векторов x  R (значок  означает, что х – элемент множества R) и y  R однозначно ставится в соответствие вектор z  R, также принадлежащий множеству R. Вектор z называется суммой векторов x и y и обозначается z = x + y;

2). Указан закон, согласно которому каждому числу  из числового поля K и любому вектору x  R однозначно ставится в соответствие вектор z  R. Вектор z называется произведением вектора x на число  и обозначается z =  x = x ;

3). Введенные в этих двух пунктах операции сложения и умножения удовлетворяют следующим восьми аксиомам:

1⁰. x + y = y +x переместительный закон

2⁰. (x + y) + z = x + (y + z) сочетательный закон

3⁰. Существует нулевой элемент 0 такой, что x + 0 = x для любого элемента x  R или:  0  R |  x  R ( x + 0 = x )

4⁰. Для каждого элемента x существует противоположный элемент x’ такой, что x + x’ = 0. Вектор x’ называется противоположным вектору x и обозначается –x или:  x  R  (-x)  R | x + ( - x) = 0.

5⁰. 1 * x = x для каждого элемента x:  x  R (1 * x = x) – это аксиома единичного элемента.

6⁰.  (  x ) = (   ) x – сочетательное свойство относительно числового множителя.

7⁰. (  +  ) x =  x +  x – распределительное относительно суммы числовых сомножителей.

8⁰.  ( x + y ) =  x +  y – распределительное относительно суммы элементов.

Следует подчеркнуть, что в определении линейного пространства мы абстрагируемся не только от природы изучаемых объектов, но и от конкретного вида правил образования сумм элементов и произведений  x.

Примеры линейных пространств:

1. Множество всех свободных векторов. Операции сложения и умножения векторов определены в аналитической геометрии. Элементарно можно проверить справедливость всех аксиом 1⁰- 8⁰. Т.е. множество всех свободных векторов является линейным пространством. Будем обозначать его V₃. Аналогичные линейные пространства на плоскости и на прямой будем обозначать V₂ и V₁ соответственно.

2. Рассмотрим натуральное число n. Множество Aⁿ, элементами которого служат упорядоченные совокупности n произвольных вещественных чисел (x₁, x₂, ... , x_n). Элементы этого множества мы будем обозначать x = (x₁, x₂, ... , x_n) и называть числа x₁, ... , x_n – координатами элемента x. В анализе множество Aⁿ обычно называют n – мерным координатным пространством. В алгебраической трактовке – это совокупность всевозможных строк, каждая из которых содержит n вещественных чисел. Если определить операцию сложения и умножения как:

(x₁ x₂ ... x_n) + (y₁ y₂ ... y_n) = (x₁+ y₁; x₂+ y₂; ... ; x_n+ y_n)

 (x₁ x₂ ... x_n) = ( x₁  x₂ ...  x_n),

то можно убедиться в справедливости всех восьми аксиом.

3. Множество всех многочленов степени, не превосходящей n. В этом пространстве вектор x имеет вид:

x = A₀ tⁿ + A₁ t^n-1 + ... + A_n

Обратим внимание, что множество всех многочленов степени строго n не является линейным пространством. Действительно, если x = A₀ tⁿ + A₁ t^n-1 + ... + A_n , а у есть y = -A₀ tⁿ + A₁ t^n-1 + ... + A_n , то x + y = 2 A₁ t^n-1 + ... + 2 A_n – многочлен, степени ниже n!

4. Множество С [a, b] всех функций x = x (t), определенных и непрерывных на сегменте a  t  b. Операции сложения и умножения на число определены обычными правилами математического анализа. Легко видеть справедливость аксиом 1⁰- 8⁰.

Будем называть вещественным линейным пространством пространство, определенное над вещественным числовым полем K. При более широком подходе можно брать числа  из комплексного поля. В таком случае придем к понятию комплексного линейного пространства.

Рассмотрим свойства линейных пространств.

Выполняются следующие два утверждения которые не будем доказывать:

1). В произвольном линейном пространстве существует единственный нулевой элемент и для каждого элемента x существует единственный противоположный. Именно эти элементы были обозначены в аксиомах 3 и 4.

2). В произвольном линейном пространстве: а) нулевой элемент 0 равен произведению произвольного элемента x на вещественное число 0; б) для каждого элемента x противоположный элемент равен произведению этого элемента x на вещественное число –1.

Пусть некоторое множество L является линейным пространством. Всякое подмножество L₁ пространства L, элементы которого в свою очередь образуют линейное пространство, (с теми же операциями сложения и умножения) называется подпространством пространства L. Очевидно, что единственный нулевой вектор 0  L и само пространство L являются наименьшим и наибольшим подпространствами линейного пространства L.

Примеры подпространства: в пространстве векторов V₃ векторы, параллельные некоторой плоскости образуют подпространство V₂.

Определение: линейной оболочкой некоторой системы векторов пространства L - x₁ x₂ ... x_m - называется совокупность всех линейных комбинаций этих векторов, т.е. множество элементов вида

₁ x₁ + ₂ x₂ + ...+ _m x_m

где ₁ ₂ ... _m – произвольные действительные числа. Линейную оболочку будем обозначать L (x₁ x₂ ... x_m).

Иногда говорят, что линейная оболочка – это подпространство, натянутое на данную систему векторов.