15.2. Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексных чисел.

Произведение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, находится по формуле

• при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Деление выполняется по формуле

.

Возведение комплексного числа в натуральную степень n производится по формуле

.

Как следствие легко получить формулу Муавра

.

Извлечение корня n –ой степени из комплексного числа z производится:

,

– корень n-ой степени из ненулевого комплексного числа z имеет ровно n различных значений. Точки, соответствующие значениям , являются вершинами правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса c центром в начале координат. Для геометрического определения корней (1.16) следует найти по данной формуле одно значение корня, поставить соответствующую точку на окружности, разбить затем окружность на n равных частей. Таким образом могут быть построены остальные вершины n–угольника.

Приведем решение примеров.

Пример 1. Вычислить ; решение записать в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.

Решение. Представим число в тригонометрической форме: . По формуле (1.4) находим: .

Так как здесь , то последняя запись представляет исходное число в тригонометрической форме. В алгебраической форме записи число имеет вид: и в показательной: .

Пример 2. Вычислить .

Решение. Представим число в тригонометрической форме: . По формуле (1.16) находим: . Полагая последовательно k равным 0, 1, 2 и 3, находим корни:

;

; .

Д

Рис.5.

ля построения этих чисел на комплексной плоскости (z) проведем окружность радиуса . На окружности отметим точку . Разбивая, далее, окружность на четыре равные части, изобразим остальные точки (см. рис.5; заметим, что рад. соответствует 3730).

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Имеем . Значение определим алгебраическим путем. Положим: (x и y –действительные числа). Возводя в квадрат и используя определение равенства комплексных чисел, найдем систему уравнений:   ; . Исключая y, придем к уравнению , или . Определим корни уравнения: Знак минус перед корнем следует отбросить, так как x- действительное число. Далее находим: и . Запишем найденные решения: и и, окончательно, ; .

Замечание. Решение квадратных уравнений (иногда) можно найти с помощью теоремы Виета. Пусть требуется решить уравнение . Если взять и , то получим, что , . На основании теоремы утверждаем, что 1 и i – корни исходного уравнения.