9. Прямая линия в пространстве.

Мы уже определили прямую линию как пересечение двух плоскостей:

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0

A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0

Теперь определим уравнение прямой линии в пространстве как уравнение прямой, проходящей через заданную точку (x₁ y₁ z₁) и имеющей заданное направление: . Очевидно, векторы и должны быть коллинеарны. Условие коллинеарности двух векторов:

.

Это и есть каноническое уравнение прямой в пространстве. Отсюда легко вывести уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Действительно, искомая прямая должна быть коллинеарна вектору x₂ - x₁; y₂ - y₁; z₂ - z₁, т.е.

Рассмотрим параметрическое задание прямой линии в пространстве. Примем за параметр , тогда получим параметрические уравнения прямой:

x = x₁ + l t

y = y₁ + m t

z = z₁ + n t

Если t – время, то эти уравнения представляют собой движение материальной точки в пространстве. Если вам знакомы производные, то можно определить скорость движения точки через производные: Vx^| = l ; Vy^| = m ; Vz^| = n.

.

Угол между двумя прямыми есть угол между их направляющими векторами и

Условие перпендикулярности: l₁ l₂ + m₁ m₂ + n₁ n₂ = 0.

Условие параллельности: .

Рассмотрим задачу о принадлежности двух прямых одной плоскости. Две прямые заданы каноническими уравнениями:

и

Очевидно, необходимо и достаточно, чтобы три вектора ; были коллинеарны:

.

Н айдем угол между прямой и плоскостью. Плоскость задана общим уравнением: A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0 , а прямая – каноническим уравнением:

Нам нужно найти угол . Из чертежа ясно, что  +  = 90, т.е. cos  = sin , но , или .

Условие параллельности: A l + B m + C n = 0.

Условие перпендикулярности: .

Условие принадлежности прямой плоскости: прямая: .

Плоскость: A x + B y + C z + D = 0. Очевидно, что координаты точки x₁ y₁ z₁ должны удовлетворять уравнению плоскости:

A x₁ + B y₁ + C z₁ + D = 0.

Кроме этого, должно выполняться условие параллельности прямой и плоскости:

A l + B m + C n = 0.

Эти два условия и определяют принадлежность прямой к плоскости.

Рассмотрим некоторые примеры задач на прямую и плоскость в пространстве.

1). Условия пересечения трех плоскостей в одной точке:

.

Очевидно, для единственности решения необходимо и достаточно, чтобы .

2). Уравнение прямой, проходящей через данную точку M₁(x₁ y₁ z₁) и перпендикулярную данной плоскости A x + B y + C z + D = 0.

Т.к. направляющим вектором некоторой прямой является вектор , то каноническое уравнение искомой прямой есть .

3). Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку M₀(x₀ y₀ z₀) и перпендикулярной заданной прямой .

Вспомним уравнение связки плоскостей, т.е. уравнение всех плоскостей, проходящих через точку x₀ y₀ z₀:

A (x – x₀) + B (y – x₀) + C (z– x₀) = 0.

Искомая плоскость в качестве нормали имеет направляющий вектор заданной прямой . В итоге получаем уравнение: l (x – x₀) + m (y – x₀) + n (z– x₀)=0.

4). Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и через точку, не лежащую на этой прямой M₀(x₀ y₀ z₀).

Искомая плоскость принадлежит связке: A (x – x₀) + B (y – x₀) + C (z– x₀) = 0.

С другой стороны, этому уравнению должны удовлетворять координаты точки x₁, y₁, z₁.

Вспомним условие принадлежности прямой к плоскости:

И получим в итоге: .

Отсюда, выразив два коэффициента из А, В, С через третий, можно найти уравнение плоскости.

Другой способ: найти векторное произведение направляющего вектора и вектора Координаты этого вектора будут, очевидно, координатами нормального вектора к искомой плоскости. Для окончательного написания уравнения плоскости необходимо использовать уравнение связки плоскостей - плоскостей, проходящих через точку М₀.

5). Уравнение перпендикуляра, опущенного из заданной точки M₀ на данную прямую L₁.

Искомый перпендикуляр – это линия пересечения двух плоскостей: 1) плоскости, проходящей через точку M₀ и прямую L₁ – предыдущий пример и 2) плоскости, проходящей через M₀ и перпендикулярную L₁ – это задача 3). Решая совместно эти два условия, найдем искомое уравнение прямой.

Другой способ: построить плоскость , проходящую через точку М₀ и перпендикулярную прямой L₁. Далее найти точку пересечения плоскости  и прямой L₁. Предположим, это будет некоторая точка С. Искомым расстоянием будет длина вектора .

6). Нахождение расстояния от данной точки M₀ до данной прямой L₁.

Надо совместно решить уравнения прямых L₁ и L₂ – это уравнение перпендикуляра из предыдущей задачи № 5, таким образом найдем координаты точки пересечения прямых L₁ и L₂ - основания перпендикуляра M₂. Расстояние – это модуль вектора .

Другой путь решения задачи:

L ₁: q={l,m,n}

Расстояние от точки М₀ до прямой L₁ есть площадь параллелограмма деленная на основание q:

7) Найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми:

L₁: L₂: .

Расстояние равно объему параллелепипеда, построенного на сторонах q₁, q₂, M₁M₂, деленному на площадь основания