3.Пусть кф дискретного сп имеет показательный вид. Найти эс сп.

По теореме Винера-Хингина для дискретных СП ЭС определяется по формуле

При n = 0

Билет №12.

Вопрос 1.

Случайный телеграфный сигнал (СТС). КФ и ЭС СТС.

Одним из примеров пуассоновского потока событий при определенных условиях является случайный телеграфный сигнал (СТС).

Вычислим КФ СТС в предположении, что выполняются следующие условия:

1. скачки от одного значения к другому происходят случайным и независимым образом;

2. в интервале времени τ происходит k скачков с вероятностью, заданной распределением Пуассона;

3. значение сигнала в любой момент времени с равной вероятностью равно нулю или единице.

Найдем вначале среднее значение СТС:

Пусть x₁=x(t₁) и x₂=x(t₂) – дискретные СВ, принимающие два возможных значения – нуль и единица. Следовательно, используя определение КФ, получим

Полученная совместная вероятность равна вероятности того, что x₁ =1 и за время τ происходит четное число скачков: P{x₁ =1, x₂ =1}=P{ x₁ =1, k - четное}=P{ x₁ =1}P{ k - четное }. Здесь учтено условие независимости. Таким образом, R_x(τ)=0.5P (k - четное).

Отсюда

При k – четном.

Ряд можно представить в виде:

В результате получим

Предельные значения КФ

Таким образом, условие стационарности пуассоновского потока выполняется: КФ зависит лишь от разности отсчетов t₂-t₁=τ.

Вопрос 2.

Связь КФ входного воздействия и отклика ЛС. Пример.

Известно, что отклик ЛС имеет вид свертки входного воздействия и ИХ ЛС :

Найдем КФ отклика

Где

Данная функция представляет собой общий случай нестационарного воздействия на стационарную ЛС.

КФ зависит от разности отсчета

Где

Тогда КФ отклика

Сделаем замену переменных: :

Внутренний интеграл – системная КФ (СКФ).

Таким образом отклик ЛС – стационарное СП: зависит только от и КФ отклика.

Энергетический спектр

где

тогда

Вопрос 3.

Пусть КФ непрерывного СП имеет экспоненциальный вид. Найти ЭС СП.

КФ:

Используем ОВФ

Тогда

Максимальное значение ЭС

Нормированная спектральная плотность (энергетический спектр):

Билет № 13.

1. Свойства КФ стационарного СП:

1)

Где -мощностьфлуктуационной составляющей СП

-мощность постоянной составляющей СП

2) - четность КФ

3)

2.Рассмотреть частные случаи прохождения СП с экспоненциальной КФ через ИЦ в зависимости от соотношений между временем корреляции входного синала и постоянной времени ИЦ.

Пример:

Найти КФ отклика ИЦ при условии, что на её вход воздействует стационарный СП с КФ

Решение: Используя известные соотношения:

и формулу 15.13 получим:

Воспользуемся разложением:

И соотношениями:

В результате получим КФ отклика ИЦ

И его дисперсию:

1 2

1

0.5

b

1 1

2

0.5

b

Рассмотрим два предельных случая:

Где - полоса пропускания ИЦ; - эффективная ширина ЭС действующего на входе ИЦ.

В первом случаем когда полоса пропускания ИЦ много больше ширины ЭС, находим

А это означает, что мощность шума на выходе равна мощности шума на входе и следовательно, фильтрации шума практически не происходит.

Во втором случае, когда полоса пропускания много меньше ширины ЭС мощность шума на выходе ИЦ

Т.е. шум существенно фильтруется ИЦ, мощность шума на выходе ИЦ уменьшается по сравнению с мощностью шума на входе в число раз равное отношению .

Теперь рассмотрим оба частных случая на примерах получения предельных значений КФ отклика

Изобразим приближенно соответствие ЭС шума на входе ИЦ и АЧХ ИЦ в соответсвии с двумя случаями. В первом случае,когда полоса пропускания ИЦ намного больше, чем ширина спектра ЭС. ЭС практически не искажается следовательно, следует отметить, что КФ отклика ИЦ будет практически совпадать с КФ СП на входе ИЦ.

Действительно по 15.21:

Что и доказывает предположение.

Во втором случае, когда замечаем, что шум в пределах полосы пропускания ИЦ действует как белый шум (БШ), и следует ожидать, что КФ отклика ИЦ будет формироваться системной функцией ИЦ , так как по 15.14 в этом случае должно быть:

Где Sо- ЭС БШ.

При , получим

Согласно примеру 14.6 СКФ ИЦ имеет вид:

где – характеристика шума на входе ИЦ.