3.Найти кф сп гармонического колебания, с постоянной амплитудой и случайной фазой.
Пример
2.1: Найти КФ СП 
где 𝜑 – СВ с равномерным
распределннием в интервале [0,2𝜋], 
,
0≤𝜑<2𝜋. Данный СП является примером
периодического СП, у которого каждая
реализация – функция, периодическая
по t.
Решение:
Где
Таким образом
Билет № 14.
1.Методы анализа нелинейных систем при случайных воздействиях:
а)Прямой метод:
Прямой метод анализа нелинейных систем
эффективно применяется при гауссовском
СП на входе нелинейного элемента (НЭ) с
характеристикой 
.
В этом случае КФ отклика НЭ может быть
записана в форме ряда
Где 
коэффициент
корреляции двумерного гауссовского
распределения
Причем полиномы Эрмита 
и 
связаны
соотношением
Коэффициенты 
прямого метода даны в таблице:
Y=kx |
|
|
Y=k |
|
|
Б) Метод характеристических функций
Метод характеристических функций называется также методом преобразований, иногда методом Райса, методом контурных интегралов.
Рассматривается пара преобразований Фурье:
Где g(x) – характеристика НЭ; f(iv) – переходная функция НЭ, которая может быть получена как одностороннее преобразование Лапласа от характеристики g(x):
Тогда отклик y=g(x) НЭ находится из обратного преобразования Лапласа
Пусть справедливы неравентсва:
Где 
постоянные.
В этом случае можно определить
однополупериодные характеристики:
Тогда 
Причем односторонние преобразования
Лапласа 
имеют вид:
Первый интеграл сходится при 
,
второй при 
.
Полная характеристика g(x)
определяется равенством:
Где за контур С+ можно взять линию 
а за контур С- линию 
.
В дальнейшем в качестве контура С+
выбирается линия 
где
𝛆
,
Из определения КФ 
Отклика y(t)
НЭ получим
Учтем определение характеристической
функции 
В результате получим:
Это выражение является основной формулой при анализе случайных воздействий на нелинейные системы методом характеристических функций (методом преобразований).
С)Метод статистической линеаризации
Определение 1. Методом статистической линеаризации (МСЛ) называют линейную аппроксимацию истинной зависимости между входным и выходным случайными сигналами безынерционного НЭ, оптимальному согласно некоторому статистическому критерию.
Определение 2. Звено, реализующее такую аппроксимацию, называют статистически эквивалентным звеном (ЭЗ) для данного нелинейного звена (НЗ) и данного закона распределения случайного процесса на входе НЭ.
Итак, пусть задан НЭ и 
– центрированные СП. Закон преобразования
в НЭ
Для ЭЗ зависимость аппроксимируется
зависимостью вида: 
,
где величины 
подлежат определению.
Выражения для искомых коэффициентов можно получить двумя способами:
Первый способ. Выбор из условия равенства математических ожиданий и дисперсий выходных сигналов ЭЗ и НЭ. Из этих условий:
Уравнения для определения принимают вид
Тогда из второго уравнения:
Где 
.
Величина 
ЭЗ, и её называют статистической средней
характеристикой ЭЗ.
НЭ
ЭЗ 
Для НЭ с нечетными
характеристиками (когда g(-x)=-g(x))
статистический параметр
удобно записать в виде 
Коэффициент 
называют статистическим коэффициентом
усиления ЭЗ по средней составляющей.
Характеристики ЭЗ называют статистическими коэффициентом усиления ЭЗ по случайной (флуктационной) составляющей.
Второй способ. Параметр 
и
выбирают
из условий минимума среднего квадрата
ошибки при замене нелинейной зависимости
приближенной зависимостью. Это условие
имеет вид:
Возводя выражение в скобках
в квадрат и учитывая, что 
получаем:
Вычислим частные производные этой функции по и и приравняем их нулю
Откуда 
Найденное решение будет
точкой минимума, поскольку 
Все полученные формулы
справедливы при известной ПРВ 
входного СП Х.
Иногда при расчетах полагают:
Для нелинейного звена с
нечетной характеристикой ЭЗ можно
представить как усилительное звено с
двумя каналами: один для средней
составляющей 
,
другой для флуктационной составляющей
входного сигнала данного НЭ.
Замечание 1. При некоторых условиях функцию случайного аргумента можно линеаризовать в окрестности точки, соответствующей средним значениям ( математическим ожиданиям) ее аргументов. Приближенное значение среднего значения и дисперсии при этом имеют вид
X
X(t) 𝛆(t)
U(t) Y(t)
