Вопрос 2. Формула преобразования эс линейной системы.
Известно, что отклик ЛС имеет вид свертки входного воздействия и ИХ ЛС :
Найдем КФ отклика
Где
Данная функция представляет собой общий случай нестационарного воздействия на стационарную ЛС.
КФ зависит от разности отсчета
Где
Тогда КФ отклика
Сделаем замену переменных: :
Внутренний интеграл – системная КФ (СКФ).
Таким образом отклик ЛС – стационарное СП: зависит только от и КФ отклика.
Энергетический спектр
где
тогда
Вопрос 3. Пусть задано стохастическое ру первого порядка. Найти ру для среднего значения и его решение.
Пусть линейная дискретная система задана своим стохастическим РУ
Где 
-коэффициенты
РУ; 
случайная
послед., имеющая среднее значение 
и ковариационную функцию
Найти среднее значение 
,
ковариационную функцию 
случайной послед 
при допущении некоррелированности
значений 
т.е. при 
Решение РУ имеет вид:
Где 
–переходная функция.
После усреднения находим РУ величины
Пусть 
Где 
–символ Кронекера, 
Тогда РУ для дисперсии 
При этом:
Билет № 19.
1. Марковский сп, определение, свойства, классификация.
Рассмотрим СП X(t) Обозначим ряд его отсчетов (сечений):
X(
),
X(
),…,
X(
)
в моменты времени 
(
).
По теореме умножения вероятностей для
n-мерной
ПРВ имеем:
где
.
i = 
.
Отсюда находим условную ПРВ:
Назовем отсчет настоящим значением (состоянием) СП.
— прошлым значением,
— будущим значением СП.
> СП X(t) называется марковским, если его будущее значение зависит лишь от настоящего и не зависит от прошлого значения.
Иначе говоря, будущее и прошлое марковского процесса независимы при известном настоящем. Поэтому для МСП вытекает следующее свойство для условной ПРВ:
где n 2. Учтем известное соотношение:
и введем обозначение:
где
P(
называется переходной плотностью.
Тогда для n-мерной ПРВ
находим:
Следовательно,
для МСП при известных начальном
распределении 
и переходной плотности P(
можно найти ПРВ любой размерности. Эти
две функции полностью задают марковский
процесс, который на этом основании
называется процессом без последействия.
> СП называется марковским если условная одномерная функция распределения:
не
изменяется от дополнительного знания
значений процесса в более ранние моменты
времени, нем t, т.е.
если при любых 
выполняется равенство:
Функция распределения F(t,x,τ,y) называется переходной функцией МСП или марковской переходной функцией.
> Марковским процессом с непрерывным множеством значений называется МСП, для которого существует производная по y от переходной функции:
называемая плотностью вероятности перехода, или просто переходной плотностью. Переходная плотность является условной ПРВ
Аналитическим аппаратом МСП является уравнение Колмогорова – Чепмена а так же уравнение Фоккера – Планка – Колмогорова (ФПК)
Переходная плотность f(t,x,τ,y) удовлетворяет уравнению
Колмогорова-Чепмена:
где t < e < τ.
Переходная
плотность 
удовлетворяет следующим дифференциальным
уравнениям в частных производных:
>
Марковский СП {
}
называется однородным (стационарным)
no времени, если переходные
функции F(t,x,τ,y)
при любых у и x
зависит только от разности t
- τ.
>
Марковский СП {
}
называется аддитивным (или процессом
с независимыми приращениями), если
марковские переходные функции F(t,x,τ,y)
при любых т и t зависит
только от разности у - x,
и в этом случае раэносгь 
- 
не зависит от тех 
,
для которых 
.
Для непрерывного стационарного МСП переходная плотность
f(t,x,τ,y) = W(τ, y | t, x) зависит не от двух параметров t и τ no отдельности, а только от их разности τ - t.
Введем
обозначение 
,
где
,.
Тогда уравнение Колмогорова-Чепмена
при принимает вид:
>
Марковский СП {
}
называется эргодическим, если предельная
функция распределения 
существует и не зависит
от у.
В этом случае 
существует независимо от начального
распределения и совпадает с предыдущим
пределом.