2. Прохождение белой последовательности через дискретный аналог иц.

Пусть – ИХ ЦФ, тогда отклик на последовательность на входе определяется дискретной сверткой:

Среднее значение отклика:

Для стационарного СП

КФ отклика:

- СКФ дискретной ПС

Пусть дискретной аналог ИЦ имеет ИХ

На вход поступает БШ с дисперсией .

Тогда КФ входного воздействия

Тогда по свертке находим

- СКФ; =

3.Пусть КФ СП имеет вид .

Выразить ЭС

Ответ:

Билет № 15.

1.Специальные сп ар(p), cc(q), apcc(p,q)

Рассмотрим дискретные СП и системы. Пусть системная функция G(z) имеет вид:

(6)

Где

Полагая корни уравнение простыми, получим разложение

Где вычет

Тогда импульсная характеристика системы принимает вид:

Так как по формуле обращения:

Где

При наличии БШ с единичной дисперсией на входе системы КФ отклика может быть выражен через СКФ :

С другой стороны ЭС в z-форме можно представить разложением по элементарным слагаемым:

Где

При m

Где

Учитывая четность КФ, получим

(7)

Отклик линейной системы с системной функцией при БШ u[n] на входе удовлетворяет РУ

Которое можно записать также в виде

(4)

или

(5)

Где

Рассмотрим частные случаи.

Авторегрессионный процесс (АР-процесс)

Случайный процесс x[n] называется АР-процессом А(р), или процессом авторегрессии порядка р,если

В этом случаем СП x[n] удовлетворяет РУ

,

Где u[n] – дискретный БШ, причем

Другая форма записи:

Таким образом, модель авторегрессии выражает текущее значение процесса через линейную комбинацию предыдущих значений процесса и отчета БШ .

Название процесса – термин математической статистики, где линейная комбинация

Связывающая неизвестную переменную х с отсчетами называется моделью регрессии [x регрессирует на В соотношении регрессирует на предыдущих отсчетах, поэтому модель авторегрессионная (АР-модель).

Процессы авторегрессии могут быть как стационарными, так и нестационарными. Для стационарности процесса необходимо, чтобы корни характеристического уравнения

Лежали внутри единичного круга

Найдем КФ стационарного АР-процесса. Для этого умножим левую и правую часть на величину В результате получим:

(1)

Усредняя при m=0 получим [при ]

(2)

Здесь учтено, что все слагаемые в некоррелированы с величиной , кроме самой величины

Обозначим через - коэффициент корреляции i-й составляющей процесса, тогда дисперсия АР-процесса находится по (2) и принимает вид:

При m>0 по (1) находим КФ АР-процесса

(3)

Здесь учтено, что прошлые значения СП зависят только от прошлых значений СП , поэтому после усреднения в (1) получим

Поделив в (3) на величину получим РУ для коэффициента корреляции

Это РУ аналогично РУ самого АР-процесса . Если в последнюю формулу подставить значения m=1,2,…,p и учесть, что , то получим систему линейных уравнений для коэффициентов :

Эта система уравнений называется уравнениями Юла-Уокера

Автореграссионный – скользящего среднего процесса (АРСС)

СП x[n] называется АРСС – процессом, если он удовлетворяет РУ (4) и (5). В этом случае, используя равенство при m<r и умножая на x[n-m] правую и левую части РУ (4), получим:

Условие отличается от неравенства в АР-модели.

Системная функция формирующего фильтра для такого СП имеет вид (6)

И имеет p полюсов и q нулей.

При белом шуме на входе с постоянной дисперсией получаем ЭС СП на выходе фильтра

Эта функция имеет 2p полюсов и 2q нулей.

В частотной области

Процесс АРСС (p,q) удовлетворяет следующему РУ

Этому же РУ удовлетворяют КФ и взаимная КФ

Если p q и если известны отсчеты КФ тогда значения при k p могут быть вычилены рекуррентно по РУ

В данном случае уравнения Юла-Уокера нелинейны относительно коэффициентов формирующего фильтра и их решение в общем случае затруднительно. Поэтому в следующих примерах используются процедура вычисления КФ непосредственно по формуле (7), тогда в общем случае q=p справедливо соотношение

Где 𝛿[n] – символ Кронекера.

Процесс скользящего среднего (СС-процесс)

СП x[n] называется процессом скользящего среднего, если он удовлетворяет уравнению

.

Другая форма записи этого уравнения

В этом случаем системная функция G(z) представляет собой полином

Импульсная характеристика (ИХ)

Поскольку ИХ g[n]=0 при n>m, то найдём КФ:

При и R[m]=0 при m>q.

Таким образом: