2. Статистические(интегральные) характеристики непрерывной лс. Пример.

> Интегральное преобразование СП :

называется среднеквадратичным интегралом случайной функции на [ , ].

Теорема. Среднее значение и ковариационая функция СП y(t) определяются соотношениями:

Отсюда следует, что даже при стационарном СП интеграл от негo является нестационарным СП.

Частный случай. СП – стационарный, тогда :

Преобразуем двукратный интеграл к сумме однократных и вычислим дисперсию . Пусть и . Тогда вводя новые переменные:

Получим:

Изменяя порядок интегрирования, приходим к соотношению:

Области интегрирования для каждого слагаемого отмечены на рисунке

U

III

II

I

0 𝜆

Отсюда при = = получим:

Пример. Найти КВФ отклика интегратора, если КВФ исходного воздействия имеет вид:

Решение. Воспользуемся формулой:

После интегрирования находим:

В результате при > получим КВФ отклика интегратора:

3. Найти кф на входе цифрового аналога иц, если на её вход воздействует белая последовательность.

Найти КФ отклика дискретного аналога ИЦ, име­ющего ИХ:

при дискретном белом шуме на входе с дисперсией .

Решение. Здесь КФ входного воздействия:

где — символ Кронекера. Тогда по свертке находим:

Билет № 20.

1. Доказательство эргодичности сп по среднему значению.

> Если выполняется условие , и , то говорят, что СП эргодичен пo среднему значению.

Теорема 1. Необходимым и достаточным условием эргодичности по среднему значению СП является условие:

Теорема 2. (Слуцкого). Необходимым и достаточным условием эргодичности СП по среднему значению является условие:

Замечание 1. Достаточным условием эргодичности СП по среднему значению является:

а также:

или эквивалентно:

Аналогично исследуется эргодичность стационарного СП по диспе­рсии и ковариационной функции.

2. Статистические характеристики отклика линейных дискретных систем.

Воздействие дискретных СП на ЦФ

Пусть — ИХ ЦФ, тогда отклик ЛС на последовательность на входе определяется дискретной сверткой:

Среднее значение отклика:

Для стационарного СП . Тогда получим:

Найдем КФ отклика:

Если СП стационарный, то:

и поэтому:

Вводя новый индекс суммирования , получим:

где - СКФ дискретной ЛС.

Таким образом, как и в непрерывной ЛС, КФ отклика на стационарное воздействие выражается в виде дискретной свертки СКФ и КФ входного воздействия.

Введем z-форму ЭС:

где — знак двустороннего z-прeoбрaзования.

Найдем z-форму ЭС отклика ЛС.

Введем новый индекс суммирования , тогда тройная сумма распадается на произведение однократных сумм:

Следовательно:

Поскольку:

то полученный результат для ЭС следует непосредственно из вы­ражения свертки КФ и СКФ .

В частотной области полученый результат имеет вид: