1.Марковский процесс. Уравнение Фоккера – Планка – Колмогорова при описании фап. Решение этого уравнения.

Определение: СП, у которого будущее значение зависит лишь от настоящего и не зависит от прошлого значения называется Марковским (МСП). Для МСП справедливо свойство условной ПРВ:

Грубо говоря, МСП является вероятностным процессом без последствий. С учетом марковского свойства n-мерную ПРВ МСП можно записать в виде:

Таким образом, для МСП при известном начальном распределении и переходных ПРВ можно найти ПРВ любой конечной размерности.

Назовем сечение настоящим значением СП, - прошлым значением СП, - будущим значением СП. Таким образом, СП называется МСП, если его будущее значение зависит лишь от настоящего и не зависит от прошлого.

Переходная плотность удовлетворяет следующим дифференциальным уравнениям в частных производных:

Эти уравнения - прямое и обратное уравнения Колмогорова. 1-е – уравнение Фоккера - Планка -Колмогорова, полученное в работе по теории диффузии. В теории броуновского движения a(t,x) – коэффициент сноса, b(t,x) – коэффициент диффузии.

Пусть стохастическое ДУ первого порядка описывает нелинейную систему:

где h(x) - характеристика нелинейного элемента, - ГБШ с КФ: и средним значением: , x(t) - МСП, W(x,t) - ПРВ МСП - результат решения уравнения ФПК.

Тогда соответствующее уравнение ФПК можно записать в следующем виде:

- коэффициент скоса.

- коэффициент диффузии.

В числителях формул стоят средние значения приращения и квадрата приращения. Выразим приращение из уравнения:

Тогда средние значения будут равны:

Тогда получим выражения для коэффициентов:

И окончательно получаем:

Уравнение (2) можно решить только численно. В стационарном же случае ( ) приходим к ОДУ относительно ПРВ:

Пусть G=0, тогда:

Константа интегрирования C находится из условия нормировки:

Рассмотрим систему ФАП:

Полезный сигнал:

.

Шум:

n(t).

Сигнал с УГ:

Примем допущение, что ФД перемножитель:

В результате перемножения появляется вторая гармоника, которая подавляется в ФНЧ. В итоге имеем на выходе ФНЧ:

где полоса синхронизации.

ДУ ФАП:

где -широкополосный фильтр.

Получаем уравнение:

То есть h(x)=sin(x) - характеристика ФД.

Таким образом мы получили частный случай ДУ (1), а значит можем получить решение уравнения ФПК:

- функция Бесселя первого порядка.

И окончательно получаем:

r - ОСШ на выходе ФАП.

2.Прохождение белого шума через колебательный контур; кф отклика.

Будем искать КФ отклика по следующей формуле:

КФ БШ:

Найдем СКФ КК:

Тогда:

После подстановки

Окончательно получаем:

Тогда КФ отклика:

3.Выражение для кф дискретного сп через эс в z – форме /в виде контурного интеграла.

Теорема Винера - Хинчина для дискретных СП (теорема Уолда) записывается в виде:

- приведенная частота, Т - интервал дискретизации.

Запишем ЭС в форме функции переменной :

Для КФ дискретной СП может быть получена формула обращения. Для этого учтем замену переменных в интеграле (1).

Изменению от - до соответствует окружность единичного радиуса в комплексной плоскости:

Подставим в интеграл (1), полученные соотношения, получим:

Билет № 9