3. Найти дисперсию решения стохастического ру первого порядка.

Пусть линейная система задается ДУ вида:

где — нестационарный случайный процесс с КФ и средним значением . Решением ДУ является:

где — функция, связанная с интегрирующим множителем paвенством:

Свойства этой функции:

Среднее значение решения удовлетворяет ДУ:

Введем функцию , тогда ковариационную функцию и дисперсию решения можно получить в виде: (при нулевых начальных условиях)

где — ковариационная функция воздействия .

Если воздействие является белым шумом, то:

где δ — дельта-функция; — интенсивность белого шума

В этом случае для дисперсии получим ДУ:

Билет № 21.

1. Теорема Уолда (Винера-Хинчина) для дискретных сп.

Рассмотрим дискретный процесс в форме последовательности , и ограничимся рассмотрением поначалу интервалом . Введем приведенную частоту , это удобно сделать, чтобы рассматривать функции на интервале . Рассмотрим теперь функцию , периодическую с периодом и удовлетворяющую условиям Дирихле (или попросту с конечной энергией на ).

Ряд Фурье этой функции:

Где

Равенство Парсеваля для этого случая:

Пусть рассматриваемый дискретный случайный процесс имеет нулевое среднее, т.е.

и является стационарным в широком смысле с такой корреляционной функцией

что

Аналогично энергетическому спектру x(w) для непрерывных с.п, введем функцию

или её приближение с конечным суммированием:

Аналогично тому как это было сделано для непрерывных процессов, можно сформировать среднее значение периодограммы

По аналогии с заменой переменных в двойных интегралах в доказательствах необходимого и достаточного условия эргодичности по среднему и теоремы Винера-Хинчина, введем новые индексы суммирования . Тогда можно продолжить равенство следующим образом:

Чтобы были понятны дальнейшие выкладки, по аналогии с областями интегрирования в двойных интегралах можно нарисовать множества индексов суммирования для старых и новых индексов:

В пределе при и при выполнении условия можно записать:

Таким образом, энергетический спектр дискретного с.п. является рядом Фурье, в котором отсчеты корреляционной функции являются коэффициентами ряда Фурье 5.1, Получили аналог первой формулы теоремы Винера-Хинина.

Теперь найдем выражение для коэффициентов ряда Фурье для Введем функцию

Тогда

Умножим части этого равенства на и проинтегрируем от :

Если определить символ Кронекера как

то можно записать

Переходя к пределу при получим аналог второй формулы теоремы Винера-Хинчина:

Итак, теорема Винера-Хинчина для дискретных с. п., выражается формулами

Свойства энергетического спектра те же, что и для непрерывных с.п.