2. Свертка и ее использование в теории сп.

Сввертка и ее свойства.

1. Свертка во временной области.

Отклик есть свертка входного воздействия x(t) и импульсной характеристики системы :

Преобразование Фурье отклика:

Отсюда следует, что:

Свертка функций во временной области соответствует произведению их преобразований Фурье.

2. Свертка в частотной области:

Где

Произведение временных функций соответствует свертке их преобразований Фурье:

Использование свертки в теории СП

Отклик ЛС y(t) определяется сверткой их h(t) системы и входного воздействия x(t)

Взаимная КФ:

КФ отклика:

3. Дисперсия решения стохастического ду первого порядка.

Cтохастическими ДУ (или PУ) называются соответствующие уравнения со случайной правой частью или случайными коэффициентами

Пусть линейная система задается стохастическими ДУ вида:

Где нестационарный случайный процесс с КФ и средним значением

Решением ДУ является

где — функция, связанная с интегрирующим множителем равен­ством

Свойства этой функции:

Среднее значение решения x(t) удовлетворяет ДУ

Введем функцию , тогда ковариационную функ­цию и дисперсию решения x(t) можно получить в виде (при нулевых начальных условиях):

Где -ковариационная функция воздействия

Если воздействие является белым шумом, то

Где -дельта-функция; -интенсивность белого шума.

В этом случае для дисперсии получим ДУ

Билет № 22

Вопрос 1. Нестационарный режим стационарных лс.

Рассмотрим задачу: Пусть на вход ИЦ воздействует стационарный СП с равным нулю средним значением и ковариационной функцией:

Найти ковариационную функцию отклика , его дисперсию и стационарные значения , , при , , .

Решение.

ИХ ИЦ представляем в виде: , где , .

Отклик ЛС: , где – входное воздействие. Тогда ковариационная функция отклика: .

Пусть , тогда КВФ имеет вид

, где .

Пусть . Интеграл можно разбить на три: , где

После интегрирования:

Тогда: .

Получим формулу, справедливую при и при :

Отсюда три свойства:

Симметрия по переменным и ;

Равенство нулю КФ в начальный момент: ;

КФ зависит не только от абсолютного значения разности , но и от каждого момента и в отдельности.

Вывод: СП на выходе нестационарный.

При , стационарное значение КФ:

, где :

.

Вывод: - стационарный СП.

Найдем нестационарную дисперсию

.

В установившемся режиме .

Вопрос 2. Метод марковских сп.

Метод марковских СП предназначен для нестационарных СП и инерционных (НЭ+фильтр). В основе метода положено уравнение Колмагорова-Чеплина, уравнение Понтрягина.

При использовании метода предполагается, что решение ДУ является МСП. Это говорит о том, что правая часть ДУ – ГБШ. Достоинством метода является получение ПРВ решения; ПРВ ищется в нестационарном (переходном) режиме.

Метод МСП позволяет найти время до срыва слежения САУ, а также вероятность срыва.

Рассмотрим простейший случай задания стохастического ДУ 1-го порядка.

, где - НЭ, - ГБШ с КФ , .

Таким образом, - МСП и его ПРВ - результат решения уравнения:

, где - коэф. сноса, - коэф. диффузии.

- уравнение можно решить только численно.

В стационарном случае . ОДУ относительно ПРВ:

- поток вероятности.

При :

, - из условия нормировки.