Вопрос 3. Определение винеровского сп, его кф.

Винеровским СП наз. СП , удовлетворяющий условиям:

- процесс с независимыми приращениями;

При любых , приращения , одинаково распределены;

, ;

При

Если - ВСП, то

Согласно условиям 1 и 2 ВСП является марковским аддитивным и однородным СП. При ВСП называется стандартным.

Корреляционной функцией СП называется неслучайная функция двух переменных

Билет №23.

Вопрос 1.Докозательство эргодичности сп по среднему значению.

До сих пор использовалось статистическое усреднение (интегрирование или суммирование с весом ПРВ или распределения вероятностей) Такое усреднение называется усреднением по ансамблю. Наряду с этим возможно усреднение по времени.

Во многих задачах бывает известна лишь одна реализация случайного процесса или . Возникает вопрос: можно ли при этом оценить хотя бы среднее (по ансамблю) значение этого СП посредством усреднения одной реализации по времени. Оказывается, сделать это невозможно, если среднее по ансамблю значение СП зависит от времени. Однако, если X(t) или x[n] – стационарный СП, когда , то его временное среднее значение приближается к среднему по ансамблю , если продолжительность реализации стремиться к бесконечности. В этом проявляется свойство эргодичности СП по среднему значению.

Итак, пусть на интервале (-Т;Т) имеется среднее по времени

Очевидно, - случайная величина, причем ее среднее значение равно мат ожиданию СП X(t):

Это значит , что СВ является не смещенной оценкой параметра .

Если дисперсия этой оценки при стреиться к нулю, тогда говорят, что в среднем квадратическом. В этом случае оценка , вычисленная по единственнной реализации, близка к с вероятностью 1.

Определение 1. Если выполняется условие и , то говорят что СП X(t) эргодичен по среднему значению, и пишут

Таким образом, для стационарного эргодического по среднему значению СС достаточно взять одну, протяженную по времени реализацию и усреднить ее по времени, что бы найти оценку неизвестного среднего значения , сходящуюся к в среднеквадратическом смысле( сходящуюся к по вероятности).

Покажем, что дисперсию СВ можно представить в виде:

(5.2)

где – ковариационная функция СП X(t).

В начале найдем второй начальный момент СВ :

Отсюда

Область интегрирования показана на рисунке.

Проведем замену переменных:

Область интегрирования по новым переменным α, изображена на рисунке.

По прежнему . Границы новой области устанавливаются так же прямыми . Таким образом, подставляя в соотношение значение u=Tна верхней границе области рис5.1.а находим границу новой области 5.1.б Аналогично нижняя граница u=-T переходит в границу . В результате соотношение для дисперсии принимает вид

Отсюда получаем первую формулу (5.2). С учетом четности КВФ приходим ко второй формуле (5.2).

Теорема 1. Необходимым и достаточным условием эргодичности по среднему значению СП X(t) является условие

(5.3)

Пример 5.1. Пусть . Определить, является ли СП X(t) эргодическим по среднему значению.

Решение. По (5.2) находим

Очевидно, следовательно, СП X(t) эргодичен по среднему значению. Заметим, что если то

Пример 5.2. Пусть где v(t) - БШ, такой что . Будет ли СП эргодическим?

Решение. В данном случае и по (5.2) находим

причем здесь использовалось фильтрующее свойство дельта-функции. СледовательноX(t) – стационарный СП, эргодический по среднему значению.

Теорема 2.(Слуцкого) Необходимым и достаточным условием эргодичности СП X(t) по среднему значению является условие

(5.4)

Замечание 1. Достаточным условием эргодичности СП по среднему значению является

(5.5)

А так же

(5.6)

или эквивалентно

Аналогично исследуетс\ эргодичность стационарного СП по дисперсии и ковариационной функции.