Вопрос 3.

Пусть стохастическая ЛС задана своим ДУ, найти ДУ для среднего значения отклика и его решение.

Задание линейных одномерных и многомерных систем в форме стохастических ДУ и РУ.

Стохастический ДУ (или РУ) называется соответствующие уравнения со случайной правой частью или случайными коэффициентами.

Пусть линейная система задается стохастическими ДУ вида:

Где -нестационарный случайный процесс с КФ и средним значением

Решением ДУ является:

,

Где -функция, связанная с интегрирующим множителем равенством

Свойства этой функции

Среднее значение решения удовлетворяет ДУ

Введем функцию тогда ковариационную функцию и дисперсию ) решения можно получить в виде (при нулевых начальных условиях):

Где – ковариационная функция воздействия

Если воздействие является белым шумом, то

Где -дельта-функция; .

В этом случае для дисперсии получим ДУ:

Билет № 18.

Вопрос 1. Нелинейные преобразования сп. Огибающая и фаза сп.

Исследование прохождения случайных сигналов через нелинейные системы как, было уже показано, представляет собой в общем случае трудную задачу. Однако, если входной сигнал является гауссовским слу­чайным процессом, возможны определенные упрощения. В частности, метод Прайса позволяет находить непосредственную зависимость корреляционных характеристик выходного сигнала от соответствующих корреляционных характеристик входного сигнала, не используя громоздких преобразований ПРВ

Пусть на вход некоторого НЭ поступает реализация СП , причем:

1. представляет собой стационарный гауссовский случайный процесс с нулевым средним и единичной дисперсией, так что совместная ПРВ имеет вид:

Где -коэффициент корреляции

2. нелинейная зависимость отклика от входного воздействия является однозначной и удовлетворяет необходимым условиям для того, чтобы существовали прямое и обратное преобразования Лапласа.

Будем интересоваться зависимостью КФ отклика от коэф­фициента корреляции . По определению:

Где означает суммирование по всевозможным комбинациям знаков + и –

-двумерная характеристическая функция СП

Не трудно проверить, что

Поскольку преобразование Лапласа от то, снова изменяя порядок интегрирования, из (27 5) получим:

Где - k-я производная функции g(x)

Как правило, коэффициент корреляции входного сигнала является известным Равенство (27.6) позволяет получить и решить ДУ k-го порядка, в результате чего определяется явная зависимость для важнейшей статистической характеристики выходного сигнала. Это особенно просто сделать, если представляет собой кусочно-полиномиальную функцию Тогда для достаточно большого k имеет место суперпозиция функций различных порядков, и интеграл в (27.6) легко берется.

Очевидно, имеются нелинейности, для которых зависимость не выражается через элементарные функции и следовательно ДУ (27.6) невозможно проинтегрировать ни при каком k. В подобной ситуации необходимо прибегать к разложению искомой функции в ряд Маклорена:

Где

И взять столько членов ряда, сколько необходимо для достижения за­данной точности.

Пример27.1. Рассмотрим устройство, называемое нечетным квантователем (рис. 27.1) и определим зависимость

где k-целое число; N-положительное четное целое число

Воспользуемся формулой (27.7). Очевидно,

в силу нечетности

может быть представлена в виде суперпозиции функции

Поэтому

Где Ф(x)- интеграл Лапласа (5.6)

Аналогично

-суперпозиция

Результат запишем в виде:

В заключение отметим, что исходную задачу можно было бы решить в более общей постановке, рассматривая не одно, а два нелинейных устройства, на вход которых воздействует гауссовский СП. При этом снова вводятся преобразования Лапласа (для простоты односторонние):

Где

-контуры интегрирования.

Тогда для взаимной КФ процессов получено соотношение, обобщающее (26.6):