4 Векторы

Цель: студенты должны научиться вычислять скалярное и векторное произведения векторов, решать простейшие задачи в координатах

4.1 Декартова система координат

Ключевые слова: система координат, координаты точки, координаты вектора, середина отрезка, уравнение окружности.

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат OX и OY. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для обеих осей.

Положительное направление осей (в правосторонней системе координат) выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° еe положительное направление совпало с положительным направлением оси OY. Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат OX и OY, называются координатными углами

Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x0 и y0. Координата x0 называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A.

Если точка A лежит в координатном угле I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном угле II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном угле III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном угле IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.

4.2Векторы на плоскости и в пространстве

В физике и математике вектор – это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например, сила, скорость, ускорение. Их можно противопоставить другим величинам, таким, как масса, объем, давление, температура и плотность, которые можно описать обычным числом, и называются они «скалярами».

Графически векторы изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины. Численное значение вектора А называется модулем или длиной и обозначается A или |A|. Это величина, конечно, скаляр. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается O.

Направленный отрезок AB представляет вектор – физическую величину, описываемую численным значением и направлением. Стрелка показывает, что вектор направлен от А в B, а не от B к A.

Два вектора называются равными, если их модули и направления совпадают.

4.3 Действия над векторами

Сложение векторов

Сложение двух векторов можно осуществлять как по правилу параллелограмма, так и по правилу треугольника.

Правило треугольника. Для сложения двух векторов и по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов и по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из ихобщего начала

Умножение вектора на скаляр. Произведение mA или Am, где m– скаляр, а A – ненулевой вектор, определяется как другой вектор, который в m раз длиннее A и имеет тоже направление что и A, если число m положительно, и противоположное, если m отрицательно.

Умножение двух векторов. Существуют два способа умножения векторов. Результатом одного из них является скаляр, такое произведение называется «скалярным произведением». Результатом другого умножения является вектор, называемый «векторным произведением»

Скалярное произведение. A∙B = AB cos (A, B).

Векторное произведение.

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, удовлетворяющий следующим требованиям:

• длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синусугла φ; между ними

• вектор cортогонален каждому из векторов a и b

Обозначение:

Геометрически векторное произведение есть площадьпараллелограмма, построенного на векторах .